Dalam matematika, contoh tandingan digunakan untuk menyangkal pernyataan. Jika Anda ingin membuktikan bahwa suatu pernyataan itu benar, Anda harus menulis bukti untuk menunjukkan bahwa itu selalu benar; memberikan contoh saja tidak cukup. Dibandingkan menulis bukti, menulis contoh tandingan jauh lebih sederhana; jika Anda ingin menunjukkan bahwa pernyataan itu tidak benar, Anda hanya perlu memberikan satu contoh skenario di mana pernyataan itu salah. Kebanyakan contoh tandingan dalam aljabar melibatkan manipulasi numerik.
Dua Kelas Matematika
Penulisan bukti dan menemukan contoh tandingan adalah dua kelas utama matematika. Sebagian besar ahli matematika berfokus pada penulisan pembuktian untuk mengembangkan teorema dan sifat baru. Ketika pernyataan atau dugaan tidak dapat dibuktikan kebenarannya, matematikawan membantahnya dengan memberikan contoh tandingan.
Contoh tandingan Apakah Beton
Alih-alih menggunakan variabel dan notasi abstrak, Anda dapat menggunakan contoh numerik untuk membantah argumen. Dalam aljabar, sebagian besar contoh tandingan melibatkan manipulasi menggunakan bilangan positif dan negatif atau ganjil dan genap yang berbeda, kasus ekstrem, dan bilangan khusus seperti 0 dan 1.
Satu Contoh Tandingan Sudah Cukup
Filosofi dari contoh tandingan adalah bahwa jika dalam satu skenario pernyataan tersebut tidak benar, maka pernyataan tersebut salah. Contoh non-matematika adalah “Tom tidak pernah berbohong.” Untuk menunjukkan kebenaran pernyataan ini, Anda harus memberikan “bukti” bahwa Tom tidak pernah berbohong dengan melacak setiap pernyataan yang pernah dibuat Tom. Namun, untuk membantah pernyataan tersebut, Anda hanya perlu menunjukkan satu kebohongan yang pernah diucapkan Tom.
Contoh tandingan terkenal
“Semua bilangan prima ganjil.” Meskipun hampir semua bilangan prima, termasuk semua bilangan prima di atas 3, adalah bilangan ganjil, “2” adalah bilangan prima yang genap; pernyataan ini salah; “2” adalah contoh tandingan yang relevan.
“Pengurangan bersifat komutatif.” Penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif — dapat dilakukan dalam urutan apa pun. Artinya, untuk bilangan real a dan b, a + b= b + a dan a * b = b * a. Namun, pengurangan bukanlah komutatif; contoh tandingan yang membuktikan ini adalah: 3 – 5 tidak sama dengan 5 – 3.
“Setiap fungsi kontinu dapat dibedakan.” Fungsi mutlak |x| kontinu untuk semua bilangan positif dan negatif; tetapi tidak terdiferensiasi pada x = 0; sejak |x| adalah fungsi kontinu, contoh tandingan ini membuktikan bahwa tidak setiap fungsi kontinu terdiferensialkan.
Jupiterimages, Gambar Merek X/Gambar Merek X/Getty Images