Jika Anda melihat ekspresi 3 2 dan 5 3 , Anda dapat mengumumkan dengan penuh semangat bahwa ini berarti “tiga kuadrat” dan “lima potong dadu,” dan dapat menemukan angka yang setara tanpa eksponen , angka yang diwakili oleh superskrip ke kanan atas di atas. Angka-angka ini dalam hal ini adalah 9 dan 125.
Tetapi bagaimana jika, alih-alih, katakanlah, fungsi eksponensial sederhana seperti y = x 3 , Anda malah harus menyelesaikan persamaan seperti y = 3 x . Di sini x, variabel dependen, muncul sebagai eksponen. Apakah ada cara untuk menarik variabel itu turun dari tempat bertenggernya agar lebih mudah menghadapinya secara matematis?
Sebenarnya ada, dan jawabannya terletak pada pelengkap eksponen alami, yang merupakan kuantitas yang menyenangkan dan bermanfaat yang dikenal sebagai logaritma .
Apa Itu Eksponen?
Eksponen , juga disebut kekuatan , adalah cara terkompresi untuk menyatakan perkalian berulang dari suatu angka dengan sendirinya. 4 5 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1.024.
- Angka apa pun yang dipangkatkan 1 mempertahankan nilai yang sama; angka apa pun dengan eksponen 0 sama dengan 1. Misalnya, 72 1 = 72; 72 0 = 1.
Eksponen bisa negatif, menghasilkan hubungan x −n = 1/(x n ) . Mereka juga dapat dinyatakan sebagai pecahan, misalnya 2 (5/3) . Jika dinyatakan sebagai pecahan, pembilang dan penyebutnya harus berupa bilangan bulat.
Apa Itu Logaritma?
Logaritma, atau “log”, dapat dianggap sebagai eksponen yang diekspresikan sebagai sesuatu selain kekuatan. Itu mungkin tidak banyak membantu, jadi mungkin satu atau dua contoh akan membantu.
Dalam ekspresi 10 3 = 1.000 , angka 10 adalah basis , dan dinaikkan menjadi pangkat tiga (atau pangkat tiga). Anda dapat menyatakannya sebagai, “basis 10 yang dipangkatkan ketiga sama dengan 1.000.”
Contoh logaritma adalah log 10 (1.000) = 3 . Perhatikan bahwa angka dan hubungannya satu sama lain sama seperti pada contoh sebelumnya, tetapi telah dipindahkan. Dengan kata lain, ini berarti, “basis log 10 dari 1.000 sama dengan 3.”
Kuantitas di sebelah kanan adalah pangkat di mana basis 10 harus dinaikkan agar sama dengan argumen , atau input dari log, nilai dalam tanda kurung (dalam hal ini 1.000). Nilai ini harus positif, karena basis — yang bisa berupa angka selain 10, tetapi dianggap sebagai 10 jika dihilangkan, misalnya, “log 4” — juga selalu positif.
Aturan Logaritma yang Bermanfaat
Jadi bagaimana Anda bisa bekerja dengan mudah antara log dan eksponen? Beberapa aturan tentang perilaku log dapat membantu Anda memulai masalah eksponen.
log_{b}(xy) = log_{b}{x} + log_{b}y log_{b}(dfrac{x}{y}) = log_{b}{x} text{ − }log_ {b}y log_{b}(x^A) = A⋅log_{b}(x) log_{b}(dfrac{1}{y}) = −log_{b}(y)
Memecahkan Eksponen
Dengan informasi di atas, Anda siap mencoba memecahkan eksponen dalam persamaan.
Contoh: Jika 50 = 4 x , berapakah x?
Jika Anda mengambil log ke basis 10 dari setiap sisi dan menghilangkan identifikasi eksplisit dari basis, ini menjadi log 50 = log 4 x . Dari kotak di atas, Anda tahu bahwa log 4 x = x log 4. Jadi, Anda tinggal menghitungnya
log 50 = x log 4, atau x = (log 50)/(log 4).
Dengan menggunakan kalkulator atau perangkat elektronik pilihan Anda, Anda menemukan bahwa solusinya adalah (1,689/0,602) = 2,82 .
Menyelesaikan Persamaan Eksponensial Dengan e
Aturan yang sama berlaku jika basisnya adalah e , yang disebut logaritma natural , yang memiliki nilai sekitar 2,7183. Anda juga harus memiliki tombol untuk ini di kalkulator Anda. Nilai ini juga mendapatkan notasinya sendiri: log e x hanya ditulis “ln x.”
- Fungsi y = e x i, dengan e bukan variabel tetapi konstanta dengan nilai ini, adalah satu-satunya fungsi dengan kemiringan sama dengan tingginya sendiri untuk semua x dan y.
- Sama seperti log 10 10 x = x, ln e x = x untuk semua x.
Contoh: Selesaikan persamaan 16 = e 2,7x .
Seperti di atas, ln 16 = ln e 2,7x = 2,7x.
Dalam 16 = 2,77 = 2,7x, jadi x = 2/77/2,7 = 1,03.
Péter Gudella/iStock/Getty Images
