Semua siswa matematika dan banyak siswa sains menghadapi polinomial pada tahap tertentu selama studi mereka, tetapi untungnya polinomial mudah ditangani setelah Anda mempelajari dasar-dasarnya. Operasi utama yang perlu Anda lakukan dengan ekspresi polinomial adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, dan meskipun pembagian bisa jadi rumit, sering kali Anda dapat menangani dasar-dasarnya dengan mudah.
Polinomial: Definisi dan Contoh
Polinomial menggambarkan ekspresi aljabar dengan satu atau lebih istilah yang melibatkan variabel (atau lebih dari satu), dengan eksponen dan mungkin konstanta. Mereka tidak dapat menyertakan pembagian dengan variabel, tidak dapat memiliki eksponen negatif atau pecahan, dan harus memiliki jumlah suku yang terbatas.
Contoh ini menunjukkan polinomial:
x^3 + 2 x^ 2 – 9 x – 4
Dan ini menunjukkan satu lagi:
xy^2 – 3 x + y
Ada banyak cara untuk mengklasifikasikan polinomial, termasuk menurut derajat (jumlah eksponen dari suku pangkat tertinggi, misalnya 3 pada contoh pertama) dan menurut jumlah suku yang dikandungnya, seperti monomial (satu suku), binomial (dua suku) dan trinomial (tiga suku).
Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial
Penjumlahan dan pengurangan polinomial bergantung pada penggabungan suku-suku “miripâ€. Suku sejenis adalah suku dengan variabel dan eksponen yang sama dengan suku lain, tetapi angka yang dikalikan dengan (koefisien) bisa berbeda. Misalnya, x 2 dan 4 x 2 adalah suku-suku sejenis karena memiliki variabel dan eksponen yang sama, dan 2 xy 4 dan 6 xy 4 juga suku sejenis. Namun, x 2 , x 3 , x 2 y 2 dan y 2 bukanlah suku-suku sejenis, karena masing-masing memiliki kombinasi variabel dan eksponen yang berbeda.
Jumlahkan polinomial dengan menggabungkan suku-suku sejenis dengan cara yang sama seperti suku aljabar lainnya. Misalnya, lihat masalahnya:
(x^3 + 3 x ) + (9 x^3 + 2 x + y)
Kumpulkan istilah serupa untuk mendapatkan:
(x^3 + 9 x^3) + (3 x + 2 x ) + y
Dan kemudian evaluasi dengan hanya menjumlahkan koefisien dan menggabungkannya menjadi satu suku:
10 x^3 + 5 x + y
Perhatikan bahwa Anda tidak dapat melakukan apa pun dengan y karena tidak memiliki istilah serupa.
Pengurangan bekerja dengan cara yang sama:
(4 x^4 + 3 y^2 + 6 y ) – (2 x^4 + 2 y^2 + y)
Pertama, perhatikan bahwa semua suku di kurung kanan dikurangi dari suku di kurung sebelah kiri, jadi tuliskan sebagai:
4 x^4 + 3 y^2 + 6 y – 2 x^4 – 2 y^2- y
Gabungkan suku-suku sejenis dan evaluasi untuk mendapatkan:
(4 x^4 – 2 x^4) + (3 y^2 – 2 y^2) + (6 y – y) = 2 x^4 + y^2 + 5 y
Untuk masalah seperti ini:
(4 xy + x^2) – (6 xy – 3 x^2)
Perhatikan bahwa tanda minus diterapkan pada seluruh ekspresi di dalam kurung siku kanan, sehingga dua tanda negatif sebelum 3 x 2 menjadi tanda penjumlahan:
(4 xy + x^2) – (6 xy – 3 x^2) = 4 xy + x^2 – 6 xy + 3 x^2
Kemudian hitung seperti sebelumnya.
Mengalikan Ekspresi Polinomial
Kalikan ekspresi polinomial dengan menggunakan sifat distributif perkalian. Singkatnya, kalikan setiap suku di polinomial pertama dengan setiap suku di suku kedua. Lihatlah contoh sederhana ini:
4 x × (2 x^2 + y)
Anda memecahkan ini menggunakan properti distributif, jadi:
begin{sejajar} 4 x × (2 x^2 + y) &= (4 x × 2 x^2) + (4 x × y) \ &= 8 x^3 + 4 xy end {selaras}
Atasi masalah yang lebih rumit dengan cara yang sama:
begin{sejajar} (2 y^3 + 3 x ) × &(5 x^2 + 2 x ) \ &= (2 y^3 × (5 x^2 + 2 x )) + (3 x × (5 x^2 + 2 x )) \ &= (2 y^3 × 5 x^2) + (2 y^3 × 2 x ) + (3 x × 5 x^2 ) + (3 x × 2 x ) \ &= 10 y^3x^2 + 4 y^3x + 15 x^3 + 6 x^2 end{sejajar}
Masalah ini bisa menjadi rumit untuk pengelompokan yang lebih besar, tetapi proses dasarnya tetap sama.
Membagi Ekspresi Polinomial
Membagi ekspresi polinomial memerlukan waktu lebih lama, tetapi Anda dapat mengatasinya secara bertahap. Lihatlah ekspresi:
frac{x^2 – 3 x – 10}{x + 2}
Pertama, tulis ekspresi seperti pembagian panjang, dengan pembagi di sebelah kiri dan pembagi di sebelah kanan:
x + 2 )overline{x^2 – 3 x – 10}
Bagilah suku pertama pada pembagi dengan suku pertama pada pembagi, dan taruh hasilnya pada baris di atas pembagian. Dalam hal ini, x 2 ÷ x = x , jadi:
begin{sejajar} &x \ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} end{sejajar}
Kalikan hasil ini dengan seluruh pembagi, jadi dalam kasus ini, ( x + 2) × x = x 2 + 2 x . Letakkan hasil ini di bawah pembagian:
begin{sejajar} &x \ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x end{sejajar}
Kurangi hasil pada baris baru dari istilah tepat di atasnya (perhatikan bahwa secara teknis Anda mengubah tandanya, jadi jika Anda mendapatkan hasil negatif, Anda akan menambahkannya), dan letakkan ini pada baris di bawahnya. Pindahkan juga suku akhir dari dividen awal.
begin{sejajar} &x \ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 end{sejajar}
Sekarang ulangi proses dengan pembagi dan polinomial baru di baris paling bawah. Jadi, bagilah suku pertama pembagi ( x ) dengan suku pertama pembagi (−5 x ) dan taruh di atas:
begin{sejajar} &x -5\ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 end{sejajar}
Kalikan hasil ini (−5 x ÷ x = −5) dengan pembagi awal ( x + 2) × −5 = −5 x −10) dan letakkan hasilnya di garis bawah baru:
begin{aligned} &x -5\ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 \ & -5 x – 10 end{selaras}
Kemudian kurangi garis bawah dari yang berikutnya ke atas (jadi dalam hal ini ubah tandanya dan tambahkan), dan letakkan hasilnya di garis bawah baru:
begin{sejajar} &x -5\ x + 2 )&overline{x^2 – 3 x – 10} \ &x^2 + 2 x \ &0 – 5 x – 10 \ &-5 x – 10 \ & 0 quad 0 end{sejajar}
Karena sekarang ada deretan nol di bagian bawah, prosesnya selesai. Jika ada suku bukan nol yang tersisa, Anda akan mengulangi prosesnya lagi. Hasilnya ada di baris paling atas, jadi:
frac{x^2 – 3 x – 10}{x + 2} = x – 5
Pembagian ini dan beberapa lainnya dapat diselesaikan dengan lebih sederhana jika Anda dapat memfaktorkan polinomial dalam pembagi.
Littlewitz/iStock/GettyImages
