Kebanyakan orang mengingat Teorema Pythagoras dari geometri pemula – ini klasik. Dia
a^2 + b^2 = c^2
di mana a , b , dan c adalah sisi-sisi segitiga siku-siku ( c adalah sisi miring). Nah, teorema ini juga bisa ditulis ulang untuk trigonometri!
TL;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
TL ;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca )
Identitas Pythagoras adalah persamaan yang menuliskan Teorema Pythagoras dalam kaitannya dengan fungsi trigonometri.
utama Pythagoras adalah:
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 \ 1 + tan^2(θ) = sec^2(θ) \ 1 + cot^2(Î ¸) = csc^2(θ)
Identitas Pythagoras adalah contoh identitas trigonometri : persamaan (persamaan) yang menggunakan fungsi trigonometri.
Mengapa Penting?
Identitas Pythagoras bisa sangat berguna untuk menyederhanakan pernyataan dan persamaan trigonometri yang rumit. Hafalkan mereka sekarang, dan Anda dapat menghemat banyak waktu!
Bukti menggunakan definisi fungsi trigonometri
Identitas ini cukup sederhana untuk dibuktikan jika Anda berpikir tentang definisi fungsi trigonometri. Sebagai contoh, mari kita buktikan
sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
Ingat bahwa definisi sinus adalah sisi berlawanan/hipotenusa, dan cosinus adalah sisi yang berdekatan/hipotenusa.
Jadi
sin^2 = frac{text{berlawanan}^2} {text{sisi miring}^2}
Dan
cos^2 = frac{text{berdekatan}^2} {text{sisi miring}^2}
Anda dapat dengan mudah menjumlahkan keduanya karena penyebutnya sama.
sin^2 + cos^2 = frac{ text{kebalikan}^2 + text{berdekatan}^2} {text{sisi miring}^2}
Sekarang lihat lagi Teorema Pythagoras. Dikatakan bahwa a 2 + b 2 = c 2 . Perlu diingat bahwa a dan b berdiri untuk sisi yang berlawanan dan berdekatan, dan c singkatan sisi miring.
Anda dapat mengatur ulang persamaan dengan membagi kedua sisi dengan c 2 :
a^2 + b^2 = c^2 \ frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Karena a 2 dan b 2 adalah sisi yang berlawanan dan bertetangga dan c 2 adalah sisi miring, Anda memiliki pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas, dengan (berlawanan 2 + berdekatan 2 ) / sisi miring 2 . Dan berkat kerja dengan a , b , c dan Teorema Pythagoras, sekarang Anda dapat melihat pernyataan ini sama dengan 1!
Jadi
frac{ text{berlawanan}^2 + text{berdekatan}^2} {text{sisi miring}^2} = 1
dan maka dari itu:
sin^2 + cos^2 = 1
(Dan lebih baik menuliskannya dengan benar: sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1).
Identitas Timbal Balik
Mari luangkan beberapa menit untuk melihat identitas timbal balik juga. Ingatlah bahwa kebalikannya adalah satu dibagi dengan (“atas”) angka Anda – juga dikenal sebagai kebalikannya.
Karena cosecant adalah kebalikan dari sinus:
csc(θ) = frac{1}{sin(θ)}
Anda juga dapat memikirkan tentang cosecan menggunakan definisi sinus. Misalnya, sinus = sisi berlawanan / sisi miring. Kebalikan dari itu adalah pecahan yang dibalik terbalik, yaitu sisi miring / sisi berlawanan.
Demikian pula, kebalikan cosinus adalah garis potong, jadi didefinisikan sebagai
sec(θ) = frac{1}{cos(θ)} text{ atau } frac{text{sisi miring}}{text{sisi samping}}
Dan kebalikan tangen adalah kotangen, jadi
cot(θ) = frac{1}{tan(θ)} = frac{text{sisi samping}}{text{sisi depan}}
Bukti identitas Pythagoras menggunakan secan dan cosecan sangat mirip dengan sinus dan cosinus. Kamu juga bisa menurunkan persamaan menggunakan persamaan “induk”, sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1. Bagi kedua ruas dengan cos 2 ( θ ) untuk mendapatkan identitas 1 + tan 2 ( θ ) = sec 2 ( θ ). Bagilah kedua ruas dengan sin 2 ( θ ) untuk mendapatkan identitas 1 + cot 2 ( θ ) = csc 2 ( θ ).
Semoga berhasil dan pastikan untuk menghafal tiga identitas Pythagoras!
DragonImages/iStock/GettyImages
