Misalkan Anda memiliki n jenis item, dan Anda ingin memilih koleksi r item. Kami mungkin menginginkan barang-barang ini dalam urutan tertentu. Kami menyebut kumpulan item ini permutasi. Jika urutannya tidak penting, kami menyebut kumpulan kombinasi koleksi. Untuk kombinasi dan permutasi, Anda dapat mempertimbangkan kasus di mana Anda memilih beberapa dari n jenis lebih dari satu kali, yang disebut ‘dengan pengulangan’, atau kasus di mana Anda memilih setiap jenis hanya sekali, yang disebut ‘tidak ada pengulangan ‘. Tujuannya adalah untuk dapat menghitung jumlah kombinasi atau permutasi yang mungkin dalam situasi tertentu.
Ordo dan Faktorial
Fungsi faktorial sering digunakan saat menghitung kombinasi dan permutasi. N! artinya N×(N–1)×…×2×1. Misalnya, 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Banyaknya cara mengurutkan suatu himpunan adalah faktorial. Ambil tiga huruf a, b dan c. Anda memiliki tiga pilihan untuk huruf pertama, dua untuk yang kedua dan hanya satu untuk yang ketiga. Dengan kata lain, total 3×2×1 = 6 pemesanan. Secara umum, ada n! cara memesan n barang.
Permutasi dengan Pengulangan
Misalkan Anda memiliki tiga ruangan yang akan Anda cat, dan masing-masing akan dicat dengan salah satu dari lima warna: merah (r), hijau (g), biru (b), kuning (y) atau oranye (o). Anda dapat memilih setiap warna sebanyak yang Anda suka. Anda memiliki lima warna untuk dipilih untuk kamar pertama, lima untuk kamar kedua dan lima untuk kamar ketiga. Ini memberikan total 5×5×5 = 125 kemungkinan. Secara umum, banyaknya cara untuk mengambil sekelompok r item dalam urutan tertentu dari n pilihan berulang adalah n^r.
Permutasi tanpa Pengulangan
Sekarang misalkan setiap ruangan akan menjadi warna yang berbeda. Anda dapat memilih dari lima warna untuk kamar pertama, empat untuk kamar kedua, dan hanya tiga untuk kamar ketiga. Ini menghasilkan 5×4×3 = 60, yang kebetulan adalah 5!/2!. Secara umum, banyaknya cara bebas untuk memilih r item dalam urutan tertentu dari n pilihan yang tidak dapat diulang adalah n!/(n–r)!.
Kombinasi tanpa Pengulangan
Selanjutnya, lupakan ruangan mana yang warnanya apa. Pilih saja tiga warna independen untuk skema warna. Urutannya tidak penting di sini, jadi (merah, hijau, biru) sama dengan (merah, biru, hijau). Untuk setiap pilihan tiga warna ada 3! cara Anda dapat memesannya. Jadi, Anda mengurangi jumlah permutasi sebanyak 3! untuk mendapatkan 5!/(2!×3!) = 10. Secara umum, Anda dapat memilih sekelompok item r dalam urutan apa pun dari pilihan n pilihan yang tidak dapat diulang dalam n!/[(n–r)!à —r!] cara.
Kombinasi dengan Pengulangan
Terakhir, Anda perlu membuat skema warna di mana Anda dapat menggunakan warna apa saja sebanyak yang Anda mau. Kode pembukuan yang cerdas membantu tugas penghitungan ini. Gunakan tiga X untuk mewakili ruangan. Daftar warna Anda diwakili oleh ‘rgbyo’. Campurkan X ke dalam daftar warna Anda, dan kaitkan setiap X dengan warna pertama di sebelah kirinya. Misalnya, rgXXbyXo berarti ruangan pertama berwarna hijau, ruangan kedua berwarna hijau, dan ruangan ketiga berwarna kuning. X harus memiliki setidaknya satu warna di sebelah kiri, jadi ada lima slot yang tersedia untuk X pertama. Karena daftar sekarang menyertakan X, ada enam slot yang tersedia untuk X kedua dan tujuh slot yang tersedia untuk X ketiga. semuanya, ada 5×6×7 = 7!/4! cara menulis kode. Namun, urutan kamarnya berubah-ubah, jadi hanya ada 7!/(4!×3!) pengaturan unik. Secara umum, Anda dapat memilih r item dalam urutan apa pun dari n pilihan berulang dengan cara (n+r–1)!/[(n–1)!×r!].
Gambar Sziban/iStock/Getty
