Kemampuan menghitung nilai rata-rata atau rata-rata dari sekelompok bilangan merupakan hal yang penting dalam setiap aspek kehidupan. Jika Anda seorang profesor yang memberikan nilai huruf untuk nilai ujian dan secara tradisional memberikan nilai B- ke nilai tengah paket, maka Anda jelas perlu mengetahui seperti apa bagian tengah paket secara numerik. Anda juga memerlukan cara untuk mengidentifikasi skor sebagai outlier sehingga Anda dapat menentukan kapan seseorang layak mendapat nilai A atau A+ (di luar skor sempurna, tentu saja) serta apa yang layak mendapat nilai gagal.
Untuk alasan ini dan yang terkait, data lengkap tentang rata-rata menyertakan informasi tentang seberapa dekat pengelompokan skor di sekitar skor rata-rata secara umum. Informasi ini disampaikan dengan menggunakan standar deviasi dan, terkait, varian dari sampel statistik.
Ukuran Variabilitas
Anda hampir pasti pernah mendengar atau melihat istilah “rata-rata” yang digunakan untuk mengacu pada sekumpulan angka atau poin data, dan Anda mungkin memiliki gagasan tentang apa artinya dalam bahasa sehari-hari. Misalnya, jika Anda membaca bahwa tinggi rata-rata wanita Amerika adalah sekitar 5′ 4″, Anda segera menyimpulkan bahwa “rata-rata” berarti “khas”, dan sekitar setengah dari wanita di Amerika Serikat lebih tinggi dari ini sementara sekitar setengahnya lebih pendek.
Secara matematis, rata -rata dan rata-rata adalah hal yang persis sama: Anda menjumlahkan semua nilai dalam satu set dan membaginya dengan jumlah item dalam set. Misalnya, jika sekelompok 25 skor pada tes 10 pertanyaan berkisar dari 3 sampai 10 dan dijumlahkan dengan 196, skor rata-rata (rata-rata) adalah 196/25, atau 7,84.
Median adalah nilai titik tengah dalam suatu himpunan, angka yang setengah dari nilai terletak di atas dan setengah dari nilai berada di bawah. Biasanya mendekati rata-rata (mean) tetapi bukan hal yang sama.
Rumus Varians
Jika Anda mengamati serangkaian 25 skor seperti di atas dan hampir tidak melihat apa pun selain nilai 7, 8, dan 9, secara intuitif masuk akal bahwa rata-ratanya seharusnya sekitar 8. Tetapi bagaimana jika Anda hampir tidak melihat apa pun selain skor 6 dan 10 ? Atau lima skor 0 dan 20 skor 9 atau 10? Semua ini dapat menghasilkan rata-rata yang sama.
Varians adalah ukuran seberapa luas titik-titik dalam kumpulan data tersebar di sekitar rata-rata. Untuk menghitung varians dengan tangan, Anda mengambil perbedaan aritmatika antara masing-masing titik data dan rata-rata, kuadratkan, tambahkan jumlah kuadrat dan bagi hasilnya dengan kurang dari jumlah titik data dalam sampel. Contoh dari ini diberikan nanti. Anda juga dapat menggunakan program seperti Excel atau situs web seperti Rapid Tables (lihat Sumberdaya untuk situs tambahan).
Varians dilambangkan dengan σ 2 , “sigma” Yunani dengan eksponen 2.
Deviasi Standar
Deviasi standar sampel hanyalah akar kuadrat dari varians. Alasan kuadrat digunakan saat menghitung varians adalah bahwa jika Anda hanya menjumlahkan perbedaan individu antara rata-rata dan setiap titik data individu, jumlahnya selalu nol karena beberapa dari perbedaan ini positif dan beberapa negatif, dan mereka saling meniadakan. . Mengkuadratkan setiap istilah menghilangkan perangkap ini.
Varians Sampel dan Masalah Standar Deviasi
Asumsikan Anda diberi 10 poin data:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Temukan rata-rata, varians, dan standar deviasi.
Pertama, jumlahkan 10 nilai dan bagi dengan 10 untuk mendapatkan rata-rata (rata-rata):
70/10 = 7,0
Untuk mendapatkan varians, kuadratkan perbedaan antara setiap titik data dan rata-rata, jumlahkan semuanya dan bagi hasilnya dengan (10 – 1), atau 9:
- 7 – 4 = 3; 3 2 = 9
- 7 – 7 = 0; 0 2 = 0
- 7 – 10 = -3; (-3) 2 = 9 . . .
9 + 0 + 9 + . . . + 4 = 36
σ 2 = 36/9 = 4,0
Deviasi standar σ hanyalah akar kuadrat dari 4.0, atau 2.0.
Visi Digital./Photodisc/Getty Images
