Dalam matematika, terkadang muncul kebutuhan untuk membuktikan apakah fungsi bergantung atau tidak bergantung satu sama lain dalam arti linier. Jika Anda memiliki dua fungsi yang bergantung linier, grafik persamaan fungsi tersebut menghasilkan titik-titik yang tumpang tindih. Fungsi dengan persamaan independen tidak tumpang tindih saat dibuat grafik. Salah satu metode untuk menentukan apakah fungsi bergantung atau bebas adalah dengan menghitung Wronskian untuk fungsi tersebut.
Apa itu Wronskian?
Wronskian dari dua atau lebih fungsi adalah apa yang dikenal sebagai determinan, yaitu fungsi khusus yang digunakan untuk membandingkan objek matematika dan membuktikan fakta tertentu tentangnya. Dalam kasus Wronskian, determinan digunakan untuk membuktikan ketergantungan atau independensi antara dua fungsi linier atau lebih.
Matriks Wronskian
Untuk menghitung Wronskian untuk fungsi linear, fungsi harus diselesaikan untuk nilai yang sama di dalam matriks yang berisi fungsi dan turunannya. Contohnya adalah
W(f,g)(t)=begin{vmatrix} f(t) & g(t) \ f'(t) & g'(t) end{vmatrix}
yang menyediakan Wronskian untuk dua fungsi ( f dan g ) yang diselesaikan untuk nilai tunggal yang lebih besar dari nol ( t ); Anda dapat melihat dua fungsi f ( t ) dan g ( t ) di baris atas matriks, dan turunannya f ( t ) dan g ( t ) di baris paling bawah. Perhatikan bahwa Wronskian juga dapat digunakan untuk set yang lebih besar. Jika misalnya, Anda menguji tiga fungsi dengan Wronskian, maka Anda dapat mengisi matriks dengan fungsi dan turunan dari f ( t ), g ( t ) dan h ( t ) .
Memecahkan Wronskian
Setelah Anda memiliki fungsi yang disusun dalam matriks, kalikan silang setiap fungsi dengan turunan dari fungsi lainnya dan kurangi nilai pertama dari nilai kedua. Untuk contoh di atas, ini memberi Anda
W(f,g)(t) = f(t)g'(t) – g(t)f'(t)
Jika jawaban akhir sama dengan nol, ini menunjukkan bahwa kedua fungsi tersebut bergantung. Jika jawabannya adalah sesuatu selain nol, fungsinya adalah independen.
Contoh Wronskian
Untuk memberi Anda gambaran yang lebih baik tentang cara kerjanya, asumsikan itu
f(t) = x + 3 teks{ dan } g(t) = x – 2
Dengan menggunakan nilai t = 1, Anda dapat menyelesaikan fungsi sebagai
f(1) = 4 teks{ dan } g(1) = -1
Karena ini adalah fungsi linier dasar dengan kemiringan 1, turunan dari f ( t ) dan g ( t ) sama dengan 1. Kalikan silang nilai-nilai Anda menjadi
P(f,g)(1) = (4 + 1) – (-1 + 1)
yang memberikan hasil akhir 5. Meskipun fungsi linier keduanya memiliki kemiringan yang sama, keduanya saling bebas karena titik-titiknya tidak tumpang tindih. Jika f ( t ) telah menghasilkan hasil −1 alih-alih 4, Wronskian akan memberikan hasil nol sebagai gantinya untuk menunjukkan ketergantungan.
benjaminec/iStock/GettyImages
