Saat pertama kali mengenal sistem persamaan, Anda mungkin belajar menyelesaikan sistem persamaan dua variabel dengan membuat grafik. Namun penyelesaian persamaan dengan tiga variabel atau lebih memerlukan seperangkat trik baru, yaitu teknik eliminasi atau substitusi.
Contoh Sistem Persamaan
Pertimbangkan sistem tiga, persamaan tiga variabel ini:
Persamaan #1:
2x + y + 3z = 10
Persamaan #2:
5x – y – 5z = 2
Persamaan #3:
x + 2y – z = 7
Penyelesaian dengan Eliminasi
Carilah tempat-tempat di mana menjumlahkan dua persamaan akan membuat setidaknya salah satu variabel meniadakan dirinya sendiri.
Pilih salah satu dari dua persamaan dan gabungkan untuk menghilangkan salah satu variabel. Dalam contoh ini, menambahkan Persamaan #1 dan Persamaan #2 akan menghapus variabel y, sehingga Anda mendapatkan persamaan baru berikut:
Persamaan Baru #1:
7x – 2z = 12
Ulangi Langkah 1, kali ini menggabungkan dua persamaan yang berbeda tetapi menghilangkan variabel yang sama. Pertimbangkan Persamaan #2 dan Persamaan #3:
Persamaan #2:
5x – y – 5z = 2
Persamaan #3:
x + 2y – z = 7
Dalam hal ini variabel y tidak langsung membatalkan dirinya sendiri. Jadi sebelum Anda menjumlahkan kedua persamaan, kalikan kedua sisi Persamaan #2 dengan 2. Hasilnya:
Persamaan #2 (dimodifikasi):
10x – 2y – 10z = 4
Persamaan #3:
x + 2y – z = 7
Sekarang, 2 suku y akan saling meniadakan, menghasilkan persamaan baru lagi:
Persamaan Baru #2:
11x – 11z = 11
Gabungkan dua persamaan baru yang Anda buat, dengan tujuan menghilangkan variabel lain:
Persamaan Baru #1:
7x – 2z = 12
Persamaan Baru #2:
11x – 11z = 11
Belum ada variabel yang membatalkan dirinya sendiri, jadi Anda harus memodifikasi kedua persamaan. Kalikan kedua ruas persamaan baru pertama dengan 11, dan kalikan kedua ruas persamaan baru kedua dengan −2. Ini memberi Anda:
Persamaan Baru #1 (dimodifikasi):
77x – 22z = 132
Persamaan Baru #2 (dimodifikasi):
-22x + 22z = -22
Jumlahkan kedua persamaan dan sederhanakan, yang menghasilkan:
x = 2
Sekarang setelah Anda mengetahui nilai x , Anda dapat mensubstitusikannya ke dalam persamaan awal. Ini memberi Anda:
Persamaan #1 yang Disubstitusi:
y + 3z = 6
Persamaan #2 yang Disubstitusi:
-y – 5z = -8
Persamaan #3 yang Disubstitusi:
2y – z = 5
Pilih salah satu dari dua persamaan baru dan gabungkan untuk mengeliminasi salah satu variabel lainnya. Dalam hal ini, menambahkan Persamaan Substitusi #1 dan Persamaan Substitusi #2 membuat y batal dengan baik. Setelah disederhanakan, Anda akan memiliki:
z = 1
Substitusikan nilai dari Langkah 5 ke salah satu persamaan tersubstitusi, lalu selesaikan variabel yang tersisa, y . Pertimbangkan Persamaan Substitusi #3:
Persamaan #3 yang Disubstitusi:
2y – z = 5
Mengganti nilai z menghasilkan 2 y – 1 = 5, dan memecahkan y membawa Anda ke:
y = 3
Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 2, y = 3 dan z = 1.
Penyelesaian dengan Pergantian
Anda juga dapat menyelesaikan sistem persamaan yang sama menggunakan teknik lain yang disebut substitusi. Ini contohnya lagi:
Persamaan #1:
2x + y + 3z = 10
Persamaan #2:
5x – y – 5z = 2
Persamaan #3:
x + 2y – z = 7
Pilih variabel apa saja dan selesaikan salah satu persamaan untuk variabel itu. Dalam hal ini, memecahkan Persamaan #1 untuk y bekerja dengan mudah untuk:
y = 10 – 2x – 3z
Substitusi nilai baru untuk y ke persamaan lain. Dalam hal ini, pilih Persamaan #2. Ini memberi Anda:
Persamaan #2: 5 x – (10 – 2 x – 3 z ) - 5z = 2
Persamaan #3: x + 2(10 – 2 x – 3z ) – z = 7
Jadikan hidup Anda lebih mudah dengan menyederhanakan kedua persamaan:
Persamaan #2:
7x – 2z = 12
Persamaan #3:
-3x – 7z = -13
Pilih salah satu dari dua persamaan yang tersisa dan selesaikan untuk variabel lain. Dalam hal ini, pilih Persamaan #2 dan z . Ini memberi Anda:
z = frac{7x – 12}{2}
Substitusikan nilai dari Langkah 3 ke dalam persamaan akhir, yaitu #3. Ini memberi Anda:
-3x – 7 × frac{7x – 12}{2} = -13
Segalanya menjadi sedikit berantakan di sini, tetapi setelah Anda menyederhanakannya, Anda akan kembali ke:
x = 2
“Kembali-gantikan” nilai dari Langkah 4 ke dalam persamaan dua variabel yang Anda buat di Langkah 3:
z = frac{7x – 12}{2}
Ini memungkinkan Anda memecahkan z . (Dalam hal ini, z = 1).
Selanjutnya, substitusikan kembali nilai x dan nilai z ke persamaan pertama yang sudah Anda selesaikan untuk y . Ini memberi Anda:
y = 10 – (2 × 2) – (3 × 1)
… dan penyederhanaan memberi Anda nilai y = 3.
Selalu Periksa Pekerjaan Anda
Perhatikan bahwa kedua metode penyelesaian sistem persamaan membawa Anda ke solusi yang sama: ( x = 2, y = 3, z = 1). Periksa pekerjaan Anda dengan mengganti nilai ini ke masing-masing dari tiga persamaan.
perfectlab/iStock/GettyImages
