Dalam matematika, kebalikan suatu bilangan adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan asli menghasilkan 1. Misalnya kebalikan variabel x adalah 1/ x , karena
x × frac{1}{x} = frac{x}{x} = 1
Dalam contoh ini, 1/ x adalah identitas timbal balik dari x , dan sebaliknya. Dalam trigonometri, salah satu sudut tidak 90 derajat dalam segitiga siku-siku dapat ditentukan dengan rasio yang disebut sinus, cosinus, dan tangen. Menerapkan konsep identitas timbal balik, matematikawan mendefinisikan tiga rasio lagi. Nama mereka adalah cosecant, secant dan cotangent. Cosecant adalah identitas timbal balik dari sinus, secant dari cosinus dan kotangen dari tangen.
Cara Menentukan Identitas Timbal Balik
Pertimbangkan sudut θ , yang merupakan salah satu dari dua sudut tidak 90 derajat dalam segitiga siku-siku. Jika panjang sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut adalah “ b ”, panjang sisi yang berdekatan dengan sudut dan berhadapan dengan sisi miring adalah “ a ” dan panjang sisi miring adalah “ r , ” kita dapat mendefinisikan tiga rasio trigonometri utama dalam kaitannya dengan panjang ini.
text{sin } θ = sin θ = frac{b}{r} \ ,\ text{cosine }θ = cos θ = frac{a}{r} \ ,\ text{tangent }θ = tan θ = frac{b}{a} \
Identitas timbal balik sin θ harus sama dengan 1/sin θ, karena itu adalah bilangan yang jika dikalikan sin θ , menghasilkan 1. Hal yang sama juga berlaku untuk cos θ dan tan θ . Matematikawan memberi timbal balik ini masing-masing nama cosecan, secant, dan cotangent. Menurut definisi:
text{cosecant }θ = csc θ = frac{1}{sin θ} \ ,\ text{secant }θ = sec θ = frac{1}{ cos θ} \ ,\ text{kotangen }θ = cot θ = frac{1}{tan θ}
Anda dapat menentukan identitas timbal balik ini dalam hal panjang sisi segitiga siku-siku sebagai berikut:
csc θ = frac{r}{b} \ ,\ sec θ = frac{r}{a} \ ,\ cot θ = frac{a}{b }
Hubungan berikut berlaku untuk setiap sudut θ :
sin θ × csc θ = 1 \ cos θ × sec θ = 1 \ tan θ × cot θ = 1
Dua Identitas Trigonometri Lainnya
Jika Anda mengetahui sinus dan kosinus suatu sudut, Anda dapat menurunkan garis singgungnya. Ini benar karena
sin θ = frac{b}{r} text{ dan } cos θ = frac{a}{r} text{, jadi } frac{sin θ}{cos θ } = frac{b}{r} × frac{r}{a} = frac{b}{a}
Karena ini adalah definisi dari tan θ, identitas berikut, yang dikenal sebagai identitas hasil bagi, adalah sebagai berikut:
frac{sin θ}{cos θ} = tan θ \ ,\ frac{cos θ}{sin θ} = cot θ
Identitas Pythagoras mengikuti dari fakta bahwa, untuk setiap segitiga siku-siku dengan sisi a dan b serta sisi miring r , berikut ini benar: a 2 + b 2 = r 2 . Mengatur ulang suku dan menentukan rasio dalam bentuk sinus dan cosinus, Anda akan mendapatkan ekspresi berikut:
sin^2 θ + cos^2 θ = 1
Dua hubungan penting lainnya mengikuti saat Anda memasukkan identitas timbal balik untuk sinus dan cosinus dalam ekspresi di atas:
tan^2 θ + 1 = sec^2 θ \ cot^2 θ + 1 = csc^2 θ
thomas-bethge/iStock/GettyImages
