Vektor adalah kuantitas yang memiliki besar dan arah yang terkait dengannya. Ini berbeda dengan besaran skalar, yang hanya sesuai dengan besaran. Kecepatan merupakan contoh besaran vektor. Ini memiliki besaran (seberapa cepat sesuatu berjalan) dan arah (arah perjalanannya.)
Vektor sering digambar sebagai panah. Panjang panah sesuai dengan besarnya vektor, dan titik panah menunjukkan arah.
Ada dua cara untuk mengerjakan penjumlahan dan pengurangan vektor. Yang pertama secara grafis, dengan memanipulasi diagram panah dari vektor itu sendiri. Yang kedua secara matematis, yang memberikan hasil yang tepat.
Penambahan dan Pengurangan Vektor Grafis dalam Satu Dimensi
Saat menambahkan dua vektor, Anda menempatkan ujung vektor kedua ke ujung vektor pertama sambil mempertahankan orientasi vektor. Vektor resultan adalah vektor yang dimulai pada ujung vektor pertama dan menunjuk dalam garis lurus ke ujung vektor kedua.
Misalnya, pertimbangkan untuk menambahkan vektor A dan B yang menunjuk ke arah yang sama di sepanjang garis. Kami menempatkan mereka “ujung ke ekor” dan vektor yang dihasilkan, C , menunjuk ke arah yang sama dan memiliki panjang yang merupakan jumlah dari panjang A dan B.
Mengurangkan vektor dalam satu dimensi pada dasarnya sama dengan menjumlahkan kecuali Anda “membalikkan” vektor kedua. Ini hasil langsung dari fakta bahwa pengurangan sama dengan menambahkan negatif.
Penambahan dan Pengurangan Vektor Matematika dalam Satu Dimensi
Saat bekerja dalam satu dimensi, arah vektor dapat ditunjukkan dengan tanda. Kami memilih satu arah untuk menjadi arah positif (biasanya “naik” atau “kanan” dipilih sebagai positif), dan menetapkan setiap vektor yang menunjuk ke arah itu sebagai besaran positif. Setiap vektor yang menunjuk ke arah negatif adalah kuantitas negatif. Saat menambah atau mengurangi vektor, tambahkan atau kurangi besarnya dengan tanda yang sesuai.
Misalkan pada bagian sebelumnya, vektor A memiliki besaran 3 dan vektor B memiliki besaran 5. Maka vektor resultan C = A + B = 8, vektor besarnya 8 menunjuk ke arah positif, dan resultan vektor D = A – B = -2, vektor besarnya 2 menunjuk ke arah negatif. Perhatikan bahwa ini konsisten dengan hasil grafis dari sebelumnya.
Tip: Berhati-hatilah untuk hanya menambahkan vektor dengan jenis yang sama: kecepatan + kecepatan, gaya + gaya, dan seterusnya. Seperti semua matematika dalam fisika, unit harus cocok!
Penambahan dan Pengurangan Vektor Grafis dalam Dua Dimensi
Jika vektor pertama dan vektor kedua tidak berada pada garis yang sama di ruang Cartesian, Anda dapat menggunakan metode “tip to tail†yang sama untuk menambah atau menguranginya. Untuk menambahkan dua vektor, bayangkan mengangkat yang kedua dan menempatkan ekornya ke ujung yang pertama sambil mempertahankan orientasinya seperti yang ditunjukkan. Vektor yang dihasilkan adalah panah yang dimulai dari ekor vektor pertama dan berakhir di ujung vektor kedua:
Sama seperti dalam satu dimensi, mengurangkan satu vektor dari yang lain sama dengan membalik dan menjumlahkan. Secara grafis, ini terlihat seperti berikut:
Dan Chen | Sains
Catatan: Kadang-kadang penjumlahan vektor ditampilkan secara grafis dengan menyatukan kedua ekor vektor penjumlahan dan membuat jajaran genjang. Vektor yang dihasilkan kemudian diagonal jajaran genjang ini.
Penambahan dan Pengurangan Vektor Matematika dalam Dua Dimensi
Untuk menambah dan mengurangi vektor dalam dua dimensi secara matematis, ikuti langkah-langkah berikut:
Dekomposisi setiap vektor menjadi komponen x , terkadang disebut komponen horizontal, dan komponen y , terkadang disebut komponen vertikal, menggunakan trigonometri. (Perhatikan bahwa komponen dapat berupa negatif atau positif tergantung pada arah mana vektor menunjuk)
Tambahkan komponen- x dari kedua vektor bersama-sama, lalu tambahkan komponen- y dari kedua vektor bersama-sama. Hasil ini memberi Anda komponen x dan y dari vektor yang dihasilkan.
Besarnya vektor yang dihasilkan dapat ditemukan menggunakan teorema Pythagoras.
Arah vektor yang dihasilkan dapat ditemukan melalui trigonometri menggunakan fungsi tangen terbalik. Arah ini biasanya diberikan sebagai sudut terhadap sumbu x positif.
Trigonometri dalam Penjumlahan Vektor
Ingat hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku dari trigonometri.
sin(theta)=frac{b}{c}\text{ }\ cos(theta)=frac{a}{c} \text{ }\ tan( theta)=frac{b}{a}
Teori Pitagoras:
c^2=a^2+b^2
Gerakan proyektil memberikan contoh klasik tentang bagaimana kita dapat menggunakan hubungan ini untuk menguraikan vektor dan menentukan besaran akhir dan arah vektor.
Pertimbangkan dua orang bermain tangkapan. Misalkan Anda diberi tahu bola dilempar dari ketinggian 1,3 m dengan kecepatan 16 m/s dengan sudut 50 derajat terhadap horizontal. Untuk mulai menganalisis masalah ini, Anda perlu menguraikan vektor kecepatan awal ini menjadi komponen x dan y seperti yang ditunjukkan:
v_{xi}=v_icos(theta)=16timescos(50)=10.3 text{ m/s}\ v_{yi}=v_isin(theta)=16timessin (50)=12,3teks{ m/d}
Jika penangkap bola meleset dan mengenai tanah, dengan kecepatan akhir berapakah bola itu akan membentur?
Dengan menggunakan persamaan kinematis, kita dapat menentukan bahwa komponen akhir kecepatan bola adalah:
v_{xf}=10.3 text{ m/s}\ v_{yf}=-13.3text{ m/s}
Teorema Pythagoras memungkinkan kita untuk menemukan besarnya:
v_{f}=sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8teks{ m/d}
Dan trigonometri memungkinkan kita menentukan sudut:
theta=tan^{-1}Besar(frac{-13.3}{10.3}Besar)=-52.2derajat
Contoh Penambahan dan Pengurangan Vektor
Pertimbangkan sebuah mobil yang berbelok di tikungan. Misalkan v i untuk mobil tersebut berada pada arah x- dengan besaran 10 m/s, dan v f pada sudut 45 derajat dengan sumbu x positif dengan besaran 10 m/s. Jika perubahan gerak ini terjadi dalam 3 sekon, berapakah besar dan arah percepatan mobil saat membelok?
Ingatlah bahwa percepatan a adalah besaran vektor yang didefinisikan sebagai:
a=frac{(v_f-v_i)}{t}
Di mana v f dan v i masing-masing adalah kecepatan akhir dan awal (dan karenanya, juga besaran vektor).
Untuk menghitung perbedaan vektor v f - v i , pertama-tama kita harus menguraikan vektor kecepatan awal dan akhir:
v_{xi}=10teks{ m/s}\ v_{yi}=0teks{ m/s}\ v_{xf}=10cos(45)=7.07teks{ m/s} \ v_{yf}=10sin(45)=7,07teks{ m/d}
Kemudian kita kurangi komponen x dan y akhir dari komponen x dan y awal untuk mendapatkan komponen v f – v i :
Kemudian kita kurangi komponen x dan y :
(v_f-v_i)_x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93text{ m/s}\ (v_f-v_i)_y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7,07teks{ m/d}
Kemudian bagi masing-masing dengan waktu untuk mendapatkan komponen vektor percepatan:
a_x=frac{-2.93}{3}=-0.977text{ m/s}^2\text{ }\ a_y=frac{7.07}{3}=2.36text{ m/s} ^2
Gunakan teorema Pythagoras untuk mencari besar vektor percepatan:
a=sqrt{(-0,977)^2+(2,36)^2}=2,55text{ m/s}^2
Terakhir, gunakan trigonometri untuk mencari arah vektor percepatan:
theta=tan^{-1}Besar(frac{2.36}{-0.977}Besar)=113derajat
Dan Chen | Sains
