Dalam barisan geometri, setiap suku sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan pengali konstan bukan nol yang disebut faktor persekutuan. Barisan geometri dapat memiliki jumlah suku yang tetap, atau tidak terbatas. Dalam kedua kasus tersebut, suku-suku barisan geometri dapat dengan cepat menjadi sangat besar, sangat negatif, atau sangat mendekati nol. Dibandingkan dengan barisan aritmetika, suku-sukunya berubah jauh lebih cepat, tetapi sementara barisan aritmetika tak terhingga naik atau turun dengan tetap, barisan geometri dapat mendekati nol, bergantung pada faktor persekutuannya.
TL;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
Barisan geometri adalah daftar bilangan terurut yang setiap sukunya merupakan perkalian suku sebelumnya dan pengali tetap bukan nol yang disebut faktor persekutuan. Setiap suku dari barisan geometri adalah rata-rata geometri dari suku-suku sebelum dan sesudahnya. Barisan geometri tak hingga dengan faktor persekutuan antara +1 dan −1 mendekati batas nol saat suku ditambahkan, sedangkan barisan dengan faktor persekutuan lebih besar dari +1 atau lebih kecil dari −1 menghasilkan plus atau minus tak terhingga.
Cara Kerja Barisan Geometri
Barisan geometri didefinisikan dengan bilangan awal a , faktor persekutuan r , dan banyaknya suku S. Bentuk umum yang sesuai dari barisan geometri adalah:
a, ar, ar^2, ar^3, … , ar^{S-1}
Rumus umum untuk suku n dari barisan geometri (yaitu, setiap suku dalam barisan itu) adalah:
a_n = ar^{n-1}
Rumus rekursif, yang mendefinisikan istilah sehubungan dengan istilah sebelumnya, adalah:
a_n = ra_{n-1}
Contoh barisan geometri dengan bilangan awal 3, faktor persekutuan 2 dan delapan suku adalah 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Menghitung suku terakhir menggunakan bentuk umum di atas, sukunya adalah:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Menggunakan rumus umum untuk suku 4:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Jika Anda ingin menggunakan rumus rekursif untuk suku 5, maka suku 4 = 24, dan 5 sama dengan:
a_5= 2 × 24 = 48
Properti Deret Geometrik
Barisan geometri memiliki sifat khusus sejauh menyangkut rata-rata geometri. Rata-rata geometris dari dua angka adalah akar kuadrat dari produk mereka. Misalnya, rata-rata geometris dari 5 dan 20 adalah 10 karena perkalian 5 × 20 = 100 dan akar kuadrat dari 100 adalah 10.
Dalam deret geometri, setiap suku adalah rata-rata geometri dari suku sebelumnya dan suku sesudahnya. Misalnya, dalam deret 3, 6, 12 … di atas, 6 adalah rata-rata geometris dari 3 dan 12, 12 adalah rata-rata geometris dari 6 dan 24, dan 24 adalah rata-rata geometris dari 12 dan 48.
Sifat lain dari barisan geometri bergantung pada faktor persekutuan. Jika faktor persekutuan r lebih besar dari 1, barisan geometri tak hingga akan mendekati tak terhingga positif. Jika r antara 0 dan 1, barisan akan mendekati nol. Jika r berada di antara nol dan −1, barisan tersebut akan mendekati nol, tetapi suku-sukunya akan bergantian antara nilai positif dan negatif. Jika r kurang dari −1, suku-suku tersebut akan cenderung mengarah ke tak terhingga positif dan negatif karena berganti-ganti antara nilai positif dan negatif.
Urutan geometris dan sifat-sifatnya sangat berguna dalam model ilmiah dan matematika dari proses dunia nyata. Penggunaan urutan spesifik dapat membantu mempelajari populasi yang tumbuh pada tingkat tetap selama periode waktu tertentu atau investasi yang menghasilkan bunga. Rumus umum dan rekursif memungkinkan untuk memprediksi nilai akurat di masa mendatang berdasarkan titik awal dan faktor umum.
DragonImages/iStock/GettyImages