Trigonometri bisa terasa seperti subjek yang cukup abstrak. Istilah misterius seperti “sin” dan “cos” sepertinya tidak sesuai dengan apa pun dalam kenyataan, dan sulit untuk memahaminya sebagai konsep. Lingkaran satuan sangat membantu dalam hal ini, menawarkan penjelasan langsung tentang angka yang Anda peroleh saat mengambil sinus, kosinus, atau garis singgung suatu sudut. Untuk setiap siswa sains atau matematika, memahami lingkaran satuan dapat benar-benar memperkuat pemahaman Anda tentang trigonometri dan cara menggunakan fungsinya.
TL;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
Sebuah lingkaran satuan memiliki jari-jari satu. Bayangkan sistem koordinat xy dimulai dari pusat lingkaran ini. Sudut titik diukur dari mana x = 1 dan y = 0, di sisi kanan lingkaran. Sudut meningkat saat Anda bergerak berlawanan arah jarum jam.
Menggunakan kerangka kerja ini, dan y untuk koordinat y dan x untuk koordinat x titik pada lingkaran:
sin θ = y
cos θ = x
Dan akibatnya:
tan θ = y / x
Apa itu Lingkaran Satuan?
Lingkaran “satuan†memiliki jari-jari 1. Dengan kata lain, jarak dari pusat lingkaran ke bagian manapun dari tepi selalu 1. Satuan ukuran tidak terlalu penting, karena yang terpenting adalah tentang lingkaran satuan adalah membuat banyak persamaan dan perhitungan menjadi lebih sederhana.
Ini juga berfungsi sebagai dasar yang berguna untuk melihat definisi sudut. Bayangkan pusat lingkaran berada di pusat sistem koordinat dengan sumbu x berjalan horizontal dan sumbu y berjalan vertikal. Lingkaran melintasi sumbu-x pada x = 1, y = 0. Para ilmuwan dan matematikawan menentukan sudut dari titik tersebut dengan bergerak berlawanan arah jarum jam. Jadi titik x = 1, y = 0 pada lingkaran berada pada sudut 0°.
Definisi Sin dan Cos Dengan Lingkaran Satuan
Definisi biasa dari sin, cos dan tan yang diberikan kepada siswa berhubungan dengan segitiga. Mereka menyatakan:
sin θ = frac{text{berlawanan}}{text{sisi miring}} \ ,\ cos θ = frac{text{berdekatan}}{text{sisi miring}} \ ,\ tan θ = frac{sin θ}{cos θ}
The “berlawanan” mengacu pada panjang sisi segitiga di depan sudut, “berdekatan” mengacu pada panjang sisi di samping sudut dan “sisi miring” mengacu pada panjang sisi diagonal segitiga .
Bayangkan membuat segitiga sehingga sisi miringnya selalu merupakan jari-jari lingkaran satuan, dengan satu sudut di tepi lingkaran dan satu lagi di tengahnya. Ini berarti sisi miring = 1 pada persamaan di atas, sehingga dua yang pertama menjadi:
sin θ = frac{text{kebalikan}}{1} = text{kebalikan}\ ,\ cos θ = frac{text{berdekatan}}{1} = text{ bersebelahan} \
Jika Anda membuat sudut yang dimaksud di pusat lingkaran, kebalikannya adalah koordinat y dan yang berdekatan hanyalah koordinat x dari titik pada lingkaran yang menyentuh segitiga. Dengan kata lain, sin mengembalikan koordinat y pada lingkaran satuan (menggunakan koordinat yang dimulai dari pusat) untuk sudut tertentu dan cos mengembalikan koordinat x . Inilah mengapa cos (0) = 1 dan sin (0) = 0, karena pada titik ini adalah koordinatnya. Demikian juga cos (90) = 0 dan sin (90) = 1, karena merupakan titik dengan x = 0 dan y = 1. Dalam bentuk persamaan:
sin θ = y \ cos θ = x
Sudut negatif juga mudah dipahami berdasarkan hal ini. Sudut negatif (diukur searah jarum jam dari titik awal) memiliki koordinat x yang sama dengan sudut positif yang bersesuaian, jadi:
cos -θ = cos θ
Namun , saklar koordinat y, yang artinya
sin -θ = -sin θ
Pengertian Tan Dengan Lingkaran Satuan
Definisi tan yang diberikan di atas adalah:
tan θ = frac{sin θ}{cos θ}
Tetapi dengan definisi lingkaran satuan dari sin dan cos, Anda dapat melihat ini setara dengan:
tan θ = frac{text{kebalikan}}{text{berdekatan}}
Atau, berpikir dalam hal koordinat:
tan θ = frac{y}{x}
Ini menjelaskan mengapa tan tidak terdefinisi untuk 90° atau −270° dan 270° atau −90° (di mana x = 0), karena Anda tidak dapat membaginya dengan nol.
Grafik Fungsi Trigonometri
Membuat grafik sin atau cos menjadi lebih mudah ketika Anda memikirkan lingkaran satuan. Koordinat x bervariasi dengan mulus saat Anda bergerak di sekitar lingkaran, mulai dari 1 dan menurun hingga minimum −1 pada 180°, lalu meningkat dengan cara yang sama. Fungsi sin melakukan hal yang sama, tetapi meningkat ke nilai maksimum 1 pada 90° terlebih dahulu, sebelum mengikuti pola yang sama. Kedua fungsi dikatakan 90° keluar dari “fase” satu sama lain.
Membuat grafik tan membutuhkan pembagian y dengan x , sehingga lebih rumit untuk membuat grafik, dan juga memiliki titik yang tidak terdefinisi.
diego_cervo/iStock/GettyImages
