Mengintegrasikan fungsi adalah salah satu aplikasi inti dari kalkulus. Terkadang, ini mudah, seperti pada:
F(x) = int( x^3 + 8) dx
Dalam contoh yang relatif rumit dari jenis ini, Anda dapat menggunakan versi rumus dasar untuk mengintegrasikan integral tak tentu:
int (x^n + A) dx = frac{x^{(n + 1)}}{n + 1} + Kapak + C
dimana A dan C adalah konstanta.
Jadi untuk contoh ini,
int x^3 + 8 = frac{x^4}{4} + 8x + C
Integrasi Fungsi Akar Kuadrat Dasar
Di permukaan, mengintegrasikan fungsi akar kuadrat terasa canggung. Misalnya, Anda mungkin terhalang oleh:
F(x) = int sqrt{(x^3) + 2x – 7}dx
Tapi Anda bisa menyatakan akar kuadrat sebagai eksponen, 1/2:
sqrt{x^3} = x^{3(1/2)} = x^{(3/2)}
Oleh karena itu, integralnya menjadi:
int (x^{3/2} + 2x – 7)dx
di mana Anda dapat menerapkan rumus biasa dari atas:
begin{sejajar} int (x^{3/2} + 2x – 7)dx &= frac{x^{(5/2)}}{5/2} + 2bigg(frac{x ^2}{2}bigg) – 7x \ &= frac{2}{5}x^{(5/2)} + x^2 – 7x end{sejajar}
Integrasi Fungsi Akar Kuadrat yang Lebih Kompleks
Terkadang, Anda mungkin memiliki lebih dari satu suku di bawah tanda akar, seperti dalam contoh ini:
F(x) = int frac{x + 1}{sqrt{x – 3}}dx
Anda dapat menggunakan u -substitusi untuk melanjutkan. Di sini, Anda menyetel u sama dengan jumlah penyebut:
u = sqrt{x – 3}
Selesaikan ini untuk x dengan mengkuadratkan kedua sisi dan mengurangkan:
u^2 = x – 3 \ x = u^2 + 3
Ini memungkinkan Anda untuk mendapatkan dx dalam hal u dengan mengambil turunan dari x :
dx = (2u)du
Mensubstitusikan kembali ke integral asli memberikan
begin{aligned} F(x) &= int frac{u^2 + 3 + 1}{u}(2u)du \ &= int frac{2u^3 + 6u + 2u}{u }du \ &= int (2u^2 + 8)du end{sejajar}
Sekarang Anda dapat mengintegrasikan ini menggunakan rumus dasar dan menyatakan u dalam bentuk x :
begin{aligned} int (2u^2 + 8)du &= frac{2}{3}u^3 + 8u + C \ &= frac{2}{3} (sqrt{x – 3})^3 + 8( sqrt{x – 3}) + C \ &= frac{2}{3} (x – 3)^{(3/2)} + 8(x – 3) ^{(1/2)} + C end{sejajar}
ChristianChan/iStock/GettyImages
