Distribusi binomial mendeskripsikan variabel X jika 1) ada sejumlah tetap n pengamatan dari variabel; 2) semua pengamatan independen satu sama lain; 3) probabilitas keberhasilan p sama untuk setiap pengamatan; dan 4) setiap pengamatan mewakili salah satu dari dua hasil yang mungkin (oleh karena itu kata “binomial” – berpikir “biner”). Kualifikasi terakhir ini membedakan distribusi binomial dari distribusi Poisson, yang bervariasi terus-menerus daripada terpisah.
Distribusi seperti itu dapat ditulis B ( n , p ).
Menghitung Probabilitas Pengamatan yang Diberikan
Katakanlah nilai k terletak di suatu tempat di sepanjang grafik distribusi binomial, yang simetris terhadap rata-rata np . Untuk menghitung probabilitas bahwa observasi akan memiliki nilai ini, persamaan ini harus diselesaikan:
P(X = k) = (n : k) p^k(1-p)^{nk}
di mana
(n : k) = frac{n!}{k!(n – k)!}
“!” menandakan fungsi faktorial, misalnya, 27! = 27 × 26 × 25 × … × 3 × 2 × 1.
Contoh
Katakanlah seorang pemain bola basket melakukan 24 lemparan bebas dan memiliki tingkat keberhasilan 75 persen ( p = 0,75). Berapa peluang dia akan memukul tepat 20 dari 24 tembakannya?
Pertama hitung ( n : k ) sebagai berikut:
frac{n!}{k!(n – k)!} = frac{24!}{ (20!)(4!)} = 10.626 \ pk = 0,75^{20} = 0,00317 (1-p )^{nk} = (0,25)^4 = 0,00390
Dengan demikian
P(20) = 10,626×0,00317×0,00390 = 0,1314
Oleh karena itu, pemain ini memiliki peluang 13,1 persen untuk membuat tepat 20 dari 24 lemparan bebas, sejalan dengan apa yang mungkin disarankan oleh intuisi tentang pemain yang biasanya melakukan 18 dari 24 lemparan bebas (karena tingkat keberhasilannya yang ditetapkan sebesar 75 persen).
taka4332/iStock/GettyImages
