Aljabar sering melibatkan penyederhanaan ekspresi, tetapi beberapa ekspresi lebih membingungkan untuk dihadapi daripada yang lain. Bilangan kompleks melibatkan kuantitas yang dikenal sebagai i , sebuah bilangan “imajiner†dengan sifat i = √−1. Jika Anda hanya memiliki ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks, ini mungkin tampak menakutkan, tetapi prosesnya cukup sederhana setelah Anda mempelajari aturan dasarnya.
TL;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
Sederhanakan bilangan kompleks dengan mengikuti aturan aljabar dengan bilangan kompleks.
Apa itu Bilangan Kompleks?
Bilangan kompleks didefinisikan dengan dimasukkannya suku i , yang merupakan akar kuadrat dari minus satu. Dalam matematika tingkat dasar, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak benar-benar ada, tetapi terkadang muncul dalam soal aljabar. Bentuk umum untuk bilangan kompleks menunjukkan strukturnya:
z = a + bi
Di mana z menandai bilangan kompleks, a menyatakan bilangan apa pun (disebut bagian “nyata”), dan b mewakili bilangan lain (disebut bagian “imajiner”), keduanya bisa positif atau negatif . Jadi contoh bilangan kompleks adalah:
z = 2 −4i
Karena semua akar kuadrat dari bilangan negatif dapat diwakili oleh kelipatan i , ini adalah bentuk untuk semua bilangan kompleks. Secara teknis, bilangan biasa hanya menjelaskan kasus khusus bilangan kompleks di mana b = 0, sehingga semua bilangan dapat dianggap kompleks.
Aturan Dasar Aljabar dengan Bilangan Kompleks
Untuk menambah dan mengurangi bilangan kompleks, cukup tambahkan atau kurangi bagian nyata dan imajiner secara terpisah. Jadi untuk bilangan kompleks z = 2 – 4 i dan w = 3 + 5 i , jumlahnya adalah:
begin{aligned} z + w &= (2 – 4i) + (3 + 5i) \ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \ &= 5 + 1i \ &= 5 + saya end{selaras}
Pengurangan angka bekerja dengan cara yang sama:
begin{aligned} z- w &= (2 – 4i) – (3 + 5i) \ &= (2 – 3) + (-4 – 5)i \ &= -1 -9i end{aligned }
Perkalian adalah operasi sederhana lainnya dengan bilangan kompleks, karena cara kerjanya seperti perkalian biasa kecuali Anda harus ingat bahwa i 2 = −1. Jadi untuk menghitung 3 i × −4 i :
3i × -4i = -12i^2
Tetapi karena i2 = −1 , maka:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Dengan bilangan kompleks penuh (menggunakan z = 2 – 4 i dan w = 3 + 5 i lagi), Anda mengalikannya dengan cara yang sama dengan bilangan biasa seperti ( a + b ) ( c + d ), menggunakan metode “pertama, dalam, luar, terakhir†(FOIL), untuk memberikan ( a + b ) ( c + d ) = ac + bc + ad + bd . Yang harus Anda ingat adalah menyederhanakan instance i2 . Jadi misalnya:
begin{aligned} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (− 4i × 5i) \ &= 6 -12i + 10i – 20i^2 \ &= 6 -2i + 20 \ &= 26 + 2i end{sejajar}
Pembagian Bilangan Kompleks
Pembagian bilangan kompleks melibatkan perkalian pembilang dan penyebut pecahan dengan konjugat kompleks penyebutnya. Konjugasi kompleks berarti versi bilangan kompleks dengan bagian imajiner dibalik tandanya. Jadi untuk z = 2 – 4 i , konjugasi kompleks z = 2 + 4 i, dan untuk w = 3 + 5 i, w = 3 −5 saya . Untuk masalah:
frac{z}{w} = frac{2 -4i}{3 + 5i}
Konjugasi yang dibutuhkan adalah w *. Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan ini menjadi:
frac{z}{w} = frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
Dan kemudian Anda bekerja seperti pada bagian sebelumnya. Pembilang memberikan:
begin{sejajar} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \ &= -14-22i end{sejajar}
Dan penyebutnya memberikan:
begin{sejajar} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i – 15i -25i^2 \ &= 9 + 25 \ &= 34 end{sejajar}
Ini berarti:
begin{aligned} frac{z}{w} &= frac{-14 – 22i}{34} \ ,\ &= frac{-14}{34} – frac{22i}{ 34} \ ,\ &= frac{-7}{17} -frac{11i}{17} end{selaras}
Menyederhanakan Bilangan Kompleks
Gunakan aturan di atas seperlunya untuk menyederhanakan ekspresi kompleks. Sebagai contoh:
z = frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Ini dapat disederhanakan dengan menggunakan aturan penjumlahan pada pembilang, aturan perkalian pada penyebut, dan kemudian menyelesaikan pembagian. Untuk pembilang:
(4 + 2i) + (2 – i) = 6 + i
Untuk penyebut:
begin{sejajar} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \ &= (4 -2) + 6i \ &= 2 + 6i end{sejajar}
Menempatkan ini kembali pada tempatnya memberi:
z = frac{6 + i}{2 + 6i}
Mengalikan kedua bagian dengan konjugat penyebut menghasilkan:
begin{aligned} z &= frac{(6 + i) (2 – 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \ ,\ &= frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \ ,\ &= frac{18 – 34i}{40} \ ,\ &= frac{9 – 17i}{ 20} \ ,\ &= frac{9}{20} -frac{17i}{20} \ end{sejajar}
Jadi ini berarti z disederhanakan sebagai berikut:
begin{aligned} z &= frac{(4 + 2i) + (2 – i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \ &= frac{9}{20} -frac {17i}{20} \ end{sejajar}
Ridofranz/iStock/GettyImages
