Setiap siswa aljabar di tingkat yang lebih tinggi perlu belajar memecahkan persamaan kuadrat. Ini adalah jenis persamaan polinomial yang memiliki pangkat 2 tetapi tidak lebih tinggi, dan memiliki bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0. Anda dapat menyelesaikannya dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat, dengan faktorisasi atau dengan menyelesaikan kuadrat.
TL;DR (Terlalu Panjang; Tidak Dibaca)
Pertama cari faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan. Jika tidak ada satu tetapi koefisien b habis dibagi 2, lengkapi kuadratnya. Jika tidak ada pendekatan yang mudah, gunakan rumus persamaan kuadrat.
Menggunakan Faktorisasi untuk Menyelesaikan Persamaan
Faktorisasi mengeksploitasi fakta bahwa ruas kanan persamaan kuadrat standar sama dengan nol. Artinya, jika Anda dapat membagi persamaan menjadi dua suku dalam tanda kurung yang dikalikan satu sama lain, Anda dapat mencari solusinya dengan memikirkan apa yang membuat setiap tanda kurung sama dengan nol. Untuk memberikan contoh konkret:
x^2 + 6x + 9 = 0
Bandingkan ini dengan bentuk standar:
kapak^2 + bx + c = 0
Dalam contoh, a = 1, b = 6 dan c = 9. Tantangan memfaktorkan adalah menemukan dua bilangan yang dijumlahkan untuk menghasilkan bilangan pada titik b dan mengalikannya untuk mendapatkan bilangan tersebut di tempat untuk c .
Jadi, mewakili angka dengan d dan e , Anda mencari angka yang memenuhi:
d + e = b
Atau dalam hal ini, dengan b = 6:
d + e = 6
Dan
d × e = c
Atau dalam hal ini, dengan c = 9:
d × e = 9
Berfokuslah untuk menemukan angka yang merupakan faktor dari c , lalu jumlahkan semuanya untuk melihat apakah mereka sama dengan b . Ketika Anda memiliki nomor Anda, masukkan ke dalam format berikut:
(x + d) (x + e)
Dalam contoh di atas, baik d dan e adalah 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Jika Anda mengalikan tanda kurung, Anda akan mendapatkan persamaan aslinya lagi, dan ini adalah praktik yang baik untuk memeriksa faktorisasi Anda. Anda dapat menjalankan proses ini (dengan mengalikan bagian pertama, dalam, luar dan kemudian bagian terakhir dari tanda kurung secara bergantian — lihat Sumberdaya untuk detail lebih lanjut) untuk melihatnya secara terbalik:
begin{aligned} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \ &= x^ 2 + 3x + 3x + 9 \ &= x^2 + 6x + 9 \ end{sejajar}
Faktorisasi secara efektif berjalan melalui proses ini secara terbalik, tetapi mungkin sulit untuk menemukan cara yang tepat untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, dan metode ini tidak ideal untuk setiap persamaan kuadrat karena alasan ini. Seringkali Anda harus menebak faktorisasi dan kemudian memeriksanya.
Masalahnya sekarang membuat salah satu ekspresi dalam tanda kurung menjadi sama dengan nol melalui pilihan nilai x Anda . Jika salah satu tanda kurung sama dengan nol, seluruh persamaan sama dengan nol, dan Anda telah menemukan solusinya. Lihatlah tahap terakhir [( x + 3) ( x + 3) = 0] dan Anda akan melihat bahwa satu-satunya saat tanda kurung menjadi nol adalah jika x = −3. Namun, dalam kebanyakan kasus, persamaan kuadrat memiliki dua solusi.
Faktorisasi bahkan lebih menantang jika a tidak sama dengan satu, tetapi fokus pada kasus sederhana lebih baik pada awalnya.
Melengkapi Persegi untuk Memecahkan Persamaan
Melengkapi kuadrat membantu Anda menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat difaktorkan dengan mudah. Metode ini dapat bekerja untuk semua persamaan kuadrat, tetapi beberapa persamaan lebih cocok daripada yang lain. Pendekatannya melibatkan membuat ekspresi menjadi kuadrat sempurna dan menyelesaikannya. Kuadrat sempurna generik mengembang seperti ini:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapi kuadrat, dapatkan ekspresi ke dalam bentuk di sisi kanan di atas. Pertama, bagi angka di posisi b dengan 2, lalu kuadratkan hasilnya. Jadi untuk persamaan:
x^2 + 8x = 0
Koefisien b = 8, jadi b ÷ 2 = 4 dan ( b ÷ 2) 2 = 16.
Tambahkan ini ke kedua sisi untuk mendapatkan:
x^2 + 8x + 16 = 16
Perhatikan bahwa bentuk ini cocok dengan bentuk kuadrat sempurna, dengan d = 4, jadi 2 d = 8 dan d 2 = 16. Artinya:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Masukkan ini ke dalam persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:
(x + 4)^2 = 16
Sekarang selesaikan persamaan untuk x . Ambil akar kuadrat dari kedua sisi untuk mendapatkan:
x + 4 = sqrt{16}
Kurangi 4 dari kedua sisi untuk mendapatkan:
x = sqrt{16} – 4
Akar bisa positif atau negatif, dan mengambil akar negatif memberikan:
x = -4 – 4 = -8
Temukan solusi lain dengan akar positif:
x = 4 – 4 = 0
Oleh karena itu, satu-satunya solusi bukan nol adalah −8. Periksa ini dengan ekspresi asli untuk mengonfirmasi.
Menggunakan Rumus Kuadrat untuk Memecahkan Persamaan
Rumus persamaan kuadrat terlihat lebih rumit daripada metode lain, tetapi ini adalah metode yang paling andal, dan Anda dapat menggunakannya pada persamaan kuadrat apa pun. Persamaan menggunakan simbol dari persamaan kuadrat standar:
kapak^2 + bx + c = 0
Dan menyatakan bahwa:
x = frac{-b ± sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
Masukkan angka yang sesuai ke tempatnya dan kerjakan rumus untuk dipecahkan, ingat untuk mencoba mengurangkan dan menjumlahkan suku akar kuadrat dan catat kedua jawaban. Untuk contoh berikut:
x^2 + 6x + 5 = 0
Anda memiliki a = 1, b = 6 dan c = 5. Jadi rumusnya menjadi:
begin{aligned} x &= frac{-6 ± sqrt{6^2 – 4×1×5}}{2×1} \ &= frac{-6 ± sqrt{36 – 20}}{2} \ &= frac{-6 ± sqrt{16}}{2} \ &= frac{-6 ± 4}{2} end{aligned}
Mengambil tanda positif memberi:
begin{selaras} x &= frac{-6 + 4}{2} \ &= frac{-2}{2} \ &= -1 end{selaras}
Dan mengambil tanda negatif memberikan:
begin{selaras} x &= frac{-6 – 4}{2} \ &= frac{-10}{2} \ &= -5 end{selaras}
Yang merupakan dua solusi untuk persamaan.
Cara Menentukan Metode Terbaik untuk Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
Cari faktorisasi sebelum mencoba yang lain. Jika Anda dapat menemukannya, ini adalah cara tercepat dan termudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Ingatlah bahwa Anda sedang mencari dua bilangan yang jumlahnya adalah koefisien b dan dikalikan untuk mendapatkan koefisien c. Untuk persamaan ini:
x^2 + 5x + 6 = 0
Anda dapat mengetahui bahwa 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6, jadi:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Dan x = −2 atau x = −3.
Jika Anda tidak dapat melihat faktorisasi, periksa apakah koefisien b habis dibagi 2 tanpa menggunakan pecahan. Jika ya, menyelesaikan kuadrat mungkin merupakan cara termudah untuk menyelesaikan persamaan.
Jika tidak ada pendekatan yang cocok, gunakan rumus. Ini sepertinya pendekatan yang paling sulit, tetapi jika Anda sedang dalam ujian atau terdesak waktu, ini dapat membuat prosesnya jauh lebih tidak stres dan lebih cepat.
xalanx/iStock/GettyImages
