Sama seperti di aljabar, ketika Anda mulai belajar trigonometri, Anda akan mengumpulkan kumpulan rumus yang berguna untuk pemecahan masalah. Satu set tersebut adalah identitas setengah sudut, yang dapat Anda gunakan untuk dua tujuan. Salah satunya adalah mengubah fungsi trigonometri dari ( θ /2) menjadi fungsi yang lebih familiar (dan lebih mudah dimanipulasi) θ . Cara lainnya adalah menemukan nilai sebenarnya dari fungsi trigonometri θ , ketika θ dapat dinyatakan sebagai setengah dari sudut yang lebih dikenal.
Meninjau Identitas Setengah Sudut
Banyak buku pelajaran matematika mencantumkan empat identitas setengah sudut utama. Tapi dengan menerapkan campuran aljabar dan trigonometri, persamaan ini dapat dipijat menjadi beberapa bentuk yang berguna. Anda tidak harus menghafal semua ini (kecuali jika guru Anda memaksa), tetapi Anda setidaknya harus memahami cara menggunakannya:
Identitas Setengah Sudut untuk Sinus
sinbigg(frac{θ}{2}bigg) = ±sqrt{frac{1 – cosθ}{2}}
Identitas Setengah Sudut untuk Kosinus
cosbigg(frac{θ}{2}bigg) = ±sqrt{frac{1 + cosθ}{2}}
Identitas Setengah Sudut untuk Tangen
tanbigg(frac{θ}{2}bigg) = ±sqrt{frac{1 -cosθ}{1 + cosθ}} \ ,\ tanbigg (frac{θ}{2}bigg) = frac{sinθ}{1 + cosθ} \ ,\ tanbigg(frac{θ}{2}bigg ) = frac{1 – cosθ}{sinθ} \ ,\ tanbigg(frac{θ}{2}bigg) = cscθ – cotθ
Identitas Setengah Sudut untuk Kotangen
cotbigg(frac{θ}{2}bigg) = ±sqrt{frac{1 + cosθ}{1 – cosθ}} \ ,\ cotbigg (frac{θ}{2}bigg) = frac{sinθ}{1 – cosθ} \ ,\ cotbigg(frac{θ}{2}bigg ) = frac{1 + cosθ}{sinθ} \ ,\ cotbigg(frac{θ}{2}bigg) = cscθ + cotθ
Contoh Penggunaan Identitas Setengah Sudut
Jadi, bagaimana Anda menggunakan identitas setengah sudut? Langkah pertama adalah mengenali bahwa Anda sedang berhadapan dengan sudut yang merupakan setengah dari sudut yang lebih dikenal.
bayangkan Anda diminta mencari sinus sudut 15 derajat. Ini bukan salah satu sudut yang kebanyakan siswa akan mengingat nilai fungsi trigonometri. Tetapi jika Anda membiarkan 15 derajat sama dengan θ/2 dan kemudian mencari θ, Anda akan menemukan bahwa:
frac{θ}{2} = 15 \ θ = 30
Karena θ, 30 derajat, yang dihasilkan adalah sudut yang lebih umum, menggunakan rumus setengah sudut di sini akan sangat membantu.
Karena Anda diminta mencari sinus, hanya ada satu rumus setengah sudut yang bisa dipilih:
sinbigg(frac{θ}{2}bigg) = ±sqrt{frac{1 – cosθ}{2}}
Mengganti θ /2 = 15 derajat dan θ = 30 derajat menghasilkan:
sin(15) = ±sqrt{frac{1 – cos(30)}{2}}
Jika Anda diminta untuk menemukan garis singgung atau kotangen, yang keduanya mengalikan separuh cara menyatakan identitas setengah sudutnya, Anda cukup memilih versi yang tampaknya paling mudah dikerjakan.
Tanda ± di awal beberapa identitas setengah sudut berarti akar yang dimaksud bisa positif atau negatif. Anda dapat mengatasi ambiguitas ini dengan menggunakan pengetahuan Anda tentang fungsi trigonometri dalam kuadran. Berikut rekap singkat fungsi trigonometri yang mengembalikan nilai positif di kuadran mana:
-
- Kuadran I: semua fungsi trigonometri
- Kuadran II: hanya sinus dan cosecan
- Kuadran III: hanya garis singgung dan kotangen
- Kuadran IV: hanya kosinus dan garis potong
Karena dalam kasus ini sudut θ mewakili 30 derajat, yang termasuk dalam Kuadran I, Anda tahu bahwa nilai sinus yang dihasilkannya akan positif. Jadi Anda dapat menghilangkan tanda ± dan mengevaluasinya:
sin(15) = sqrt{frac{1 – cos(30)}{2}}
Gantikan nilai cos(30) yang sudah dikenal dan diketahui. Dalam hal ini, gunakan nilai eksak (berlawanan dengan perkiraan desimal dari bagan):
sin(15) = sqrt{frac{1 – sqrt{3/2}}{2}}
Selanjutnya, sederhanakan ruas kanan persamaan Anda untuk mencari nilai sin(15). Mulailah dengan mengalikan ekspresi di bawah akar dengan 2/2, yang menghasilkan:
sin(15) = sqrt{frac{2(1 – sqrt{3/2})}{4}}
Ini disederhanakan menjadi:
sin(15) = sqrt{frac{2 – sqrt{3}}{4}}
Anda kemudian dapat memfaktorkan akar kuadrat dari 4:
sin(15) = frac{1}{2}sqrt{2 – sqrt{3}}
Dalam kebanyakan kasus, ini sejauh yang Anda sederhanakan. Meskipun hasilnya mungkin tidak terlalu bagus, Anda telah menerjemahkan sinus dari sudut yang tidak dikenal menjadi jumlah yang tepat.
cyano66/iStock/GettyImages
