Memecahkan ketidaksetaraan nilai absolut sangat mirip dengan menyelesaikan persamaan nilai absolut, tetapi ada beberapa detail tambahan yang perlu diingat. Ini membantu untuk merasa nyaman menyelesaikan persamaan nilai absolut, tetapi tidak apa-apa jika Anda juga mempelajarinya bersama!
Definisi Ketimpangan Nilai Mutlak
Pertama-tama, pertidaksamaan nilai absolut adalah pertidaksamaan yang melibatkan ekspresi nilai absolut. Sebagai contoh,
| 5 + x | – 10 > 6
adalah pertidaksamaan nilai absolut karena memiliki tanda pertidaksamaan, >, dan ekspresi nilai absolut, | 5+ x |.
Bagaimana Memecahkan Ketimpangan Nilai Mutlak
Langkah- langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai absolut sangat mirip dengan langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan nilai absolut:
Langkah 1: Pisahkan ekspresi nilai absolut di satu sisi pertidaksamaan.
Langkah 2: Selesaikan “versi” positif dari pertidaksamaan.
Langkah 3: Selesaikan “versi” negatif dari pertidaksamaan dengan mengalikan besaran di sisi lain pertidaksamaan dengan −1 dan membalik tanda pertidaksamaan.
Banyak sekali yang harus diambil sekaligus, jadi inilah contoh yang akan memandu Anda melalui langkah-langkahnya.
Selesaikan pertidaksamaan untuk x :
| 5 + 5x | – 3 > 2
Untuk melakukan ini, dapatkan | 5 + 5 x | dengan sendirinya di ruas kiri pertidaksamaan. Yang harus Anda lakukan adalah menambahkan 3 ke setiap sisi:
| 5 + 5x | – 3 + 3 > 2 + 3 \ | 5 + 5x | > 5.
Sekarang ada dua “versi” ketidaksetaraan yang perlu kita selesaikan: “versi” positif dan “versi” negatif.
Untuk langkah ini, kita akan berasumsi bahwa segala sesuatunya seperti yang terlihat: bahwa 5 + 5 x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x > 5
Ini adalah ketimpangan sederhana; Anda hanya perlu memecahkan x seperti biasa. Kurangi 5 dari kedua ruas, lalu bagi kedua ruas dengan 5.
begin{aligned} &5 + 5x > 5 \ &5 + 5x – 5 > 5 – 5 quad text{(kurangi lima dari kedua sisi)} \ &5x > 0 \ &5x (÷ 5) > 0 ( ÷ 5) quad text{(bagi kedua ruas dengan lima)} \ &x > 0 end{aligned}
Tidak buruk! Jadi salah satu solusi yang mungkin untuk pertidaksamaan kita adalah x > 0. Sekarang, karena ada nilai absolut yang terlibat, saatnya mempertimbangkan kemungkinan lain.
Untuk memahami bagian selanjutnya ini, ada baiknya mengingat apa arti nilai absolut. Nilai absolut mengukur jarak angka dari nol. Jarak selalu positif, jadi 9 berjarak sembilan unit dari nol, tetapi −9 juga berjarak sembilan unit dari nol.
Jadi | 9 | = 9, tapi | −9 | = 9 juga.
Sekarang kembali ke masalah di atas. Pekerjaan di atas menunjukkan bahwa | 5 + 5 x | > 5; dengan kata lain, nilai absolut dari “sesuatu” lebih besar dari lima. Sekarang, bilangan positif apa pun yang lebih besar dari lima akan semakin jauh dari nol daripada lima. Jadi pilihan pertama adalah “sesuatu”, 5 + 5 x , lebih besar dari 5.
Itu adalah:
5 + 5x > 5
Itulah skenario yang ditangani di atas, pada Langkah 2.
Sekarang pikirkan sedikit lebih jauh. Apa lagi yang berjarak lima unit dari nol? Nah, negatif lima adalah. Dan apa pun yang lebih jauh di sepanjang garis bilangan dari negatif lima akan semakin jauh dari nol. Jadi “sesuatu” kita bisa berupa bilangan negatif yang lebih jauh dari nol daripada negatif lima. Itu berarti itu akan menjadi angka yang terdengar lebih besar, tetapi secara teknis kurang dari negatif lima karena bergerak ke arah negatif pada garis bilangan.
Jadi “sesuatu” kita, 5 + 5x, bisa kurang dari −5.
5 + 5x < -5
Cara cepat untuk melakukannya secara aljabar adalah mengalikan besaran di sisi lain pertidaksamaan, 5, dengan negatif, lalu membalik tanda pertidaksamaan:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x < – 5
Kemudian selesaikan seperti biasa.
begin{aligned} &5 + 5x < -5 \ &5 + 5x – 5 < -5 – 5 quad text{(kurangi 5 dari kedua sisi)} \ &5x < -10 \ &5x (÷ 5) < -10 (÷ 5) \ &x < – 2 end{sejajar}
Jadi dua kemungkinan penyelesaian pertidaksamaan adalah x > 0 atau x < −2. Periksa diri Anda sendiri dengan memasukkan beberapa kemungkinan solusi untuk memastikan ketimpangan tetap berlaku.
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Tanpa Solusi
Ada skenario di mana tidak akan ada solusi untuk ketimpangan nilai absolut . Karena nilai absolut selalu positif, nilai tersebut tidak boleh sama dengan atau kurang dari angka negatif.
Jadi | x | < −2 tidak memiliki solusi karena hasil dari ekspresi nilai absolut harus positif.
Notasi Interval
Untuk menuliskan solusi dari contoh utama kita dalam notasi interval , pikirkan bagaimana solusinya terlihat pada garis bilangan. Solusi kami adalah x > 0 atau x < −2. Pada garis bilangan, itu adalah titik terbuka di 0, dengan garis memanjang hingga tak terhingga positif, dan titik terbuka di ˆ’2, dengan garis memanjang hingga tak terhingga negatif. Solusi ini saling menjauh, bukan satu sama lain, jadi ambil masing-masing bagian secara terpisah.
Untuk x > 0 pada garis bilangan, ada titik terbuka di nol dan kemudian garis memanjang hingga tak terhingga. Dalam notasi interval, titik terbuka diilustrasikan dengan tanda kurung, ( ), dan titik tertutup, atau pertidaksamaan dengan ≥ atau ≤, akan menggunakan tanda kurung, [ ]. Jadi untuk x > 0 tulis (0, ∞).
Separuh lainnya, x < −2, pada garis bilangan adalah titik terbuka di −2 dan kemudian panah yang memanjang sampai ke −∞. Dalam notasi interval, yaitu (−∞, −2).
“Atau” dalam notasi interval adalah tanda gabungan, ∪.
Jadi solusi dalam notasi interval adalah
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)
SeanZeroThree/iStock/GettyImages
