Akar polinomial juga disebut nol, karena akarnya adalah nilai x yang fungsinya sama dengan nol. Ketika benar-benar menemukan akarnya, Anda memiliki banyak teknik yang dapat Anda gunakan; pemfaktoran adalah metode yang paling sering Anda gunakan, meskipun pembuatan grafik juga bisa berguna.
Berapa Akar?
Periksa suku berderajat tertinggi dari polinomial – yaitu, suku dengan eksponen tertinggi. Eksponen itu adalah berapa banyak akar yang dimiliki polinomial. Jadi, jika eksponen tertinggi dalam polinomial Anda adalah 2, itu akan memiliki dua akar; jika eksponen tertinggi adalah 3, maka akan memiliki tiga akar; dan seterusnya.
- Ada tangkapan: Akar polinomial bisa nyata atau imajiner. Akar “nyata” adalah anggota himpunan yang dikenal sebagai bilangan real, yang pada titik ini dalam karir matematika Anda adalah setiap angka yang biasa Anda tangani. Menguasai bilangan imajiner adalah topik yang sama sekali berbeda, jadi untuk saat ini, ingat saja tiga hal:
-
- Akar “imajiner” muncul jika Anda memiliki akar kuadrat dari bilangan negatif. Misalnya, √(-9).
- Akar imajiner selalu berpasangan.
- Akar polinomial bisa nyata atau imajiner. Jadi, jika Anda memiliki polinomial derajat 5, polinomial tersebut mungkin memiliki lima akar nyata, mungkin memiliki tiga akar nyata dan dua akar imajiner, dan seterusnya.
Cari Akar dengan Pemfaktoran: Contoh 1
Cara yang paling serbaguna untuk mencari akar adalah memfaktorkan polinomial Anda sebanyak mungkin, lalu menyetel setiap suku sama dengan nol. Ini jauh lebih masuk akal setelah Anda mengikuti beberapa contoh. Perhatikan polinomial sederhana x 2 – 4 x :
Pemeriksaan singkat menunjukkan bahwa Anda dapat memfaktorkan x dari kedua suku polinomial, yang menghasilkan:
x(x – 4)
Tetapkan setiap suku ke nol. Itu berarti menyelesaikan dua persamaan:
x = 0
adalah suku pertama yang ditetapkan menjadi nol, dan
x – 4 = 0
adalah suku kedua yang ditetapkan ke nol.
Anda sudah memiliki solusi untuk suku pertama. Jika x = 0, maka seluruh ekspresi sama dengan nol. Jadi x = 0 adalah salah satu akar, atau nol, dari polinomial.
Sekarang, pertimbangkan suku kedua dan selesaikan untuk x . Jika Anda menambahkan 4 ke kedua sisi Anda akan memiliki:
x – 4 + 4 = 0 + 4
yang disederhanakan menjadi:
x = 4
Jadi jika x = 4 maka faktor kedua sama dengan nol, yang berarti seluruh polinomialnya juga sama dengan nol.
Karena polinomial asli berderajat dua (pangkat tertinggi adalah dua), Anda tahu bahwa hanya ada dua akar yang mungkin untuk polinomial ini. Anda telah menemukan keduanya, jadi yang harus Anda lakukan hanyalah mencantumkannya:
x = 0, x = 4
Cari Akar dengan Pemfaktoran: Contoh 2
Inilah satu lagi contoh cara mencari akar dengan memfaktorkan, menggunakan beberapa aljabar menarik di sepanjang jalan. Perhatikan polinomial x 4 – 16. Dengan melihat eksponennya secara sekilas, polinomial ini harus memiliki empat akar; sekarang saatnya untuk menemukan mereka.
Apakah Anda memperhatikan bahwa polinomial ini dapat ditulis ulang sebagai selisih kuadrat? Jadi alih-alih x4 – 16 , Anda memiliki:
(x^2)^2 – 4^2
Yang mana, dengan menggunakan rumus selisih kuadrat, difaktorkan sebagai berikut:
(x^2 – 4)(x^2 + 4)
Suku pertama, sekali lagi, adalah selisih kuadrat. Jadi, meskipun Anda tidak dapat memfaktorkan lebih jauh suku di sebelah kanan, Anda dapat memfaktorkan suku di sebelah kiri satu langkah lagi:
(x – 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Sekarang saatnya menemukan nol. Dengan cepat menjadi jelas bahwa jika x = 2, faktor pertama akan sama dengan nol, dan dengan demikian seluruh ekspresi akan sama dengan nol.
Demikian pula, jika x = −2, faktor kedua akan sama dengan nol dan demikian pula seluruh ekspresinya.
Jadi x = 2 dan x = −2 keduanya nol, atau akar, dari polinomial ini.
Tapi bagaimana dengan istilah terakhir itu? Karena memiliki eksponen “2”, maka harus memiliki dua akar. Namun, Anda tidak dapat memfaktorkan ungkapan ini menggunakan bilangan real yang biasa Anda gunakan. Anda harus menggunakan konsep matematika yang sangat canggih yang disebut bilangan imajiner atau, jika Anda mau, bilangan kompleks. Itu jauh di luar cakupan latihan matematika Anda saat ini, jadi untuk saat ini cukup dicatat bahwa Anda memiliki dua akar nyata (2 dan ˆ’2), dan dua akar imajiner yang akan Anda biarkan tidak terdefinisi.
Temukan Akar dengan Membuat Grafik
Anda juga dapat menemukan, atau setidaknya memperkirakan, akar dengan membuat grafik. Setiap akar mewakili titik di mana grafik fungsi melintasi sumbu x. Jadi, jika Anda membuat grafik garis dan kemudian mencatat koordinat x di mana garis memotong sumbu x, Anda dapat memasukkan perkiraan nilai x dari titik-titik tersebut ke dalam persamaan Anda dan memeriksa apakah Anda mendapatkannya benar.
Pertimbangkan contoh pertama yang Anda kerjakan, untuk polinomial x2 â €“ 4 x . Jika Anda menggambarnya dengan hati-hati, Anda akan melihat bahwa garis memotong sumbu x di x = 0 dan x = 4. Jika Anda memasukkan masing-masing nilai ini ke dalam persamaan awal, Anda akan mendapatkan:
0^2 – 4(0) = 0
jadi x = 0 adalah nol atau akar yang valid untuk polinomial ini.
4^2 – 4(4) = 0
jadi x = 4 juga merupakan nol atau akar yang valid untuk polinomial ini. Dan karena polinomialnya berderajat 2, Anda tahu bahwa Anda dapat berhenti mencari setelah menemukan dua akar.
Antonio Guillem/iStock/GettyImages
