Menemukan faktor persekutuan terbesar, atau FPB, dari dua bilangan berguna dalam banyak situasi dalam matematika, terutama dalam penyederhanaan pecahan. Jika Anda berjuang dengan ini atau menemukan penyebut yang sama, mempelajari dua metode untuk menemukan faktor umum akan membantu Anda mencapai apa yang ingin Anda lakukan. Namun, pertama-tama, sebaiknya pelajari tentang dasar-dasar faktor; kemudian, Anda dapat melihat dua pendekatan untuk mencari faktor persekutuan. Terakhir, Anda dapat melihat cara menerapkan pengetahuan Anda untuk menyederhanakan pecahan.
Apa itu Faktor?
Faktor adalah angka yang Anda kalikan bersama untuk menghasilkan angka lain. Misalnya, 2 dan 3 adalah faktor dari 6, karena 2 × 3 = 6. Demikian pula, 3 dan 3 adalah faktor dari 9, karena 3 × 3 = 9. Seperti yang Anda ketahui, bilangan prima adalah bilangan yang tidak memiliki faktor selain dirinya sendiri dan 1. Jadi 3 adalah bilangan prima, karena hanya dua bilangan bulat (bilangan bulat) yang dapat dikalikan bersama untuk menghasilkan 3 sebagai jawabannya adalah 3 dan 1. Dengan cara yang sama, 7 adalah bilangan prima, dan seterusnya adalah 13.
Oleh karena itu, sering kali membantu memecah sebuah bilangan menjadi “faktor prima”. Ini berarti menemukan semua faktor bilangan prima dari bilangan lain. Ini pada dasarnya memecah angka menjadi “blok bangunan” fundamentalnya, yang merupakan langkah berguna untuk menemukan faktor persekutuan terbesar dari dua angka dan juga sangat berharga dalam menyederhanakan akar kuadrat.
Mencari Faktor Persekutuan Terbesar: Metode Satu
Metode paling sederhana untuk mencari faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah dengan mendaftar semua faktor dari setiap bilangan dan mencari bilangan tertinggi yang dibagi keduanya. Bayangkan Anda ingin mencari faktor persekutuan tertinggi dari 45 dan 60. Pertama, lihat angka-angka berbeda yang dapat Anda kalikan untuk menghasilkan 45.
Cara termudah untuk memulai adalah dengan dua yang Anda tahu akan berhasil, bahkan untuk bilangan prima. Dalam hal ini, kita tahu 1 × 45 = 45, jadi kita tahu 1 dan 45 adalah faktor dari 45. Ini adalah faktor pertama dan terakhir dari 45, jadi Anda bisa mengisinya dari sana. Selanjutnya, cari tahu apakah 2 adalah faktor. Ini mudah, karena bilangan genap apa pun akan habis dibagi 2, dan bilangan ganjil apa pun tidak. Jadi kita tahu bahwa 2 bukanlah faktor dari 45. Bagaimana dengan 3? Anda seharusnya dapat mengetahui bahwa 3 adalah faktor dari 45, karena 3 × 15 = 45 (Anda selalu dapat membangun berdasarkan apa yang Anda ketahui untuk menyelesaikannya, misalnya, Anda akan tahu bahwa 3 × 12 = 36 , dan menambahkan tiga untuk ini membawa Anda ke 45).
Selanjutnya, apakah 4 merupakan faktor dari 45? Tidak – kamu tahu 11 × 4 = 44, jadi tidak mungkin! Selanjutnya, bagaimana dengan 5? Ini adalah satu lagi yang mudah, karena angka apa pun yang diakhiri dengan 0 atau 5 dapat dibagi dengan 5. Dan dengan ini, Anda dapat dengan mudah mengetahui bahwa 5 × 9 = 45. Tetapi 6 tidak baik karena 7 × 6 = 42 dan 8 à — 6 = 48. Dari sini, Anda juga dapat melihat bahwa 7 dan 8 bukanlah faktor dari 45. Kita sudah mengetahui bahwa 9 adalah, dan mudah untuk melihat bahwa 10 dan 11 bukanlah faktor. Lanjutkan proses ini, dan Anda akan melihat bahwa 15 adalah faktor, tetapi tidak ada yang lain.
Jadi faktor dari 45 adalah: 1, 3, 5, 9, 15 dan 45.
Untuk 60, Anda menjalankan proses yang sama persis. Kali ini angkanya genap (jadi Anda tahu 2 adalah faktor) dan habis dibagi 10 (jadi 5 dan 10 adalah keduanya faktor), yang membuat segalanya menjadi lebih mudah. Setelah melalui proses lagi, Anda akan melihat bahwa faktor dari 60 adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, dan 60.
Membandingkan kedua daftar menunjukkan bahwa 15 adalah faktor persekutuan terbesar dari 45 dan 60. Metode ini dapat memakan waktu lama, tetapi sederhana dan akan selalu berhasil. Anda juga dapat mulai dari faktor persekutuan tinggi mana pun yang dapat langsung Anda temukan, dan kemudian mencari faktor yang lebih tinggi dari setiap angka.
Mencari Faktor Persekutuan Terbesar: Metode Dua
Cara kedua untuk mencari FPB dua bilangan adalah dengan menggunakan faktor prima. Proses faktorisasi prima sedikit lebih mudah dan lebih terstruktur daripada mencari setiap faktor. Mari kita lihat proses untuk 42 dan 63.
Proses faktorisasi prima pada dasarnya melibatkan penguraian bilangan sampai Anda hanya memiliki bilangan prima. Yang terbaik adalah memulai dengan bilangan prima terkecil (dua) dan bekerja dari sana. Jadi untuk 42, mudah dilihat bahwa 2 × 21 = 42. Kemudian kerjakan dari 21: Apakah 2 merupakan faktor? Tidak. Apakah 3? Ya! 3 × 7 = 21, dan 3 dan 7 keduanya bilangan prima. Artinya, faktor prima dari 42 adalah 2, 3, dan 7. “Terobosan” pertama menggunakan 2 untuk mendapatkan 21, dan yang kedua membaginya menjadi 3 dan 7. Kamu bisa memeriksanya dengan mengalikan semua faktormu dan memeriksa Anda mendapatkan nomor aslinya: 2 × 3 × 7 = 42.
Untuk 63, 2 bukanlah faktor, tetapi 3 adalah, karena 3 × 21 = 63. Sekali lagi, 21 dipecah menjadi 3 dan 7 – keduanya prima – sehingga Anda mengetahui faktor primanya! Memeriksa menunjukkan bahwa 3 × 3 × 7 = 63, sesuai kebutuhan.
Anda menemukan faktor persekutuan terbesar dengan melihat faktor prima yang sama dari kedua bilangan tersebut. Dalam hal ini, 42 memiliki 2, 3 dan 7, dan 63 memiliki 3, 3 dan 7. Mereka memiliki kesamaan 3 dan 7. Untuk mencari faktor persekutuan tertinggi, kalikan semua faktor prima persekutuan bersama. Dalam kasus ini, 3 × 7 = 21, jadi 21 adalah faktor persekutuan terbesar dari 42 dan 63.
Contoh sebelumnya juga dapat diselesaikan lebih cepat dengan cara ini. Karena 45 habis dibagi tiga (3 × 15 = 45), dan 15 juga habis dibagi tiga (3 × 5 = 15), maka faktor prima dari 45 adalah 3, 3 dan 5. Untuk 60, hasilnya habis dibagi dua (2 × 30 = 60), 30 juga habis dibagi dua (2 × 15 = 30), dan tersisa 15, yang kita tahu memiliki tiga dan lima sebagai faktor prima, jadi 2, 2, 3 dan 5. Membandingkan dua daftar, tiga dan lima adalah faktor prima persekutuan, jadi faktor persekutuan terbesar adalah 3 × 5 = 15.
Jika ada tiga atau lebih faktor prima persekutuan, Anda mengalikan semuanya dengan cara yang sama untuk menemukan faktor persekutuan terbesar.
Menyederhanakan Pecahan Dengan Faktor Persekutuan
Jika Anda disajikan dengan pecahan seperti 32/96, itu dapat membuat perhitungan apa pun setelahnya menjadi sangat rumit kecuali Anda dapat menemukan cara untuk menyederhanakan pecahan tersebut. Mencari faktor persekutuan terkecil dari 32 dan 96 akan memberi tahu Anda angka untuk membagi keduanya, untuk mendapatkan pecahan yang lebih sederhana. Pada kasus ini:
32 = 2 × 16 \ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \ text{Jadi} 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Untuk 96, prosesnya memberikan:
96 = 48 × 2 \ 48 = 24 × 2 \ 24 = 12 × 2 \ 12 = 6 × 2 \ 6 = 3 × 2 \ text{Jadi } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Harus jelas bahwa 2 5 = 32 adalah faktor persekutuan tertinggi. Membagi kedua bagian pecahan dengan 32 menghasilkan:
frac{32}{96} = frac{1}{3}
Menemukan penyebut yang sama adalah proses yang serupa. Bayangkan Anda harus menjumlahkan pecahan 15/45 dan 40/60. Kita tahu dari contoh pertama bahwa 15 adalah faktor persekutuan tertinggi dari 45 dan 60, jadi kita bisa langsung menyatakannya sebagai 5/15 dan 10/15. Karena 3 × 5 = 15, dan kedua pembilangnya juga habis dibagi lima, kita dapat membagi kedua bagian dari kedua pecahan dengan lima untuk mendapatkan 1/3 dan 2/3. Sekarang mereka jauh lebih mudah untuk ditambahkan dan dilihat
frac{15}{45} + frac{40}{60} = 1
Ulrike Schmitt-Hartmann/The Image Bank/GettyImages
