Hasil kali dua besaran skalar adalah skalar, dan hasil kali skalar dengan vektor adalah vektor, tetapi bagaimana dengan hasil kali dua vektor? Apakah itu skalar, atau vektor lain? Jawabannya adalah, bisa juga!
Ada dua cara untuk mengambil perkalian vektor. Salah satunya adalah dengan mengalikan perkalian titiknya, yang menghasilkan skalar, dan yang lainnya dengan mengalikan perkalian silangnya, yang menghasilkan vektor lain. Produk mana yang digunakan tergantung pada skenario tertentu dan berapa jumlah yang Anda cari.
Perkalian silang dari dua vektor menghasilkan vektor ketiga yang mengarah ke arah tegak lurus bidang yang direntang oleh kedua vektor tersebut, dan besarnya bergantung pada tegak lurus relatif kedua vektor tersebut.
Definisi Perkalian Silang Vektor
Kami pertama-tama mendefinisikan produk silang dari vektor satuan i , j dan k (vektor besarnya 1 yang menunjuk ke arah komponen x- , y- dan z dari sistem koordinat Cartesian standar ) sebagai berikut:
bold{itimes j} = bold{k}\ bold{jtimes k} = bold{i}\ bold{ktimes i} = bold{j}\ bold {ikali i} = bold{jkali j} = bold{kkali k} = 0
Perhatikan bahwa hubungan ini anti-komutatif, yaitu, jika kita mengganti urutan vektor yang kita hasilkan, itu membalik tanda hasil kali:
bold{jtimes i} = -bold{k} \ bold{ktimes j} = -bold{i} \ bold{itimes k} = -bold{j}
Kita dapat menggunakan definisi di atas untuk mendapatkan rumus perkalian silang dari dua vektor tiga dimensi . Pertama , tuliskan vektor a dan b sebagai berikut:
bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_xbold{i} + a_ybold{j} + a_zbold{k} \ bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_xbold{i} + b_ybold{j} + b_zbold{k}
Mengalikan kedua vektor, kita mendapatkan:
bold{atimes b} = (a_xbold{i} + a_ybold{j} + a_zbold{k}) times (b_xbold{i} + b_ybold{j} + b_z tebal{k}) \ = a_xb_xbold{itimes i} + a_xb_ybold{itimes j} + a_xb_zbold{itimes k} \ + a_yb_xbold{jtimes i} + a_yb_ybold{jtimes j} + a_yb_zbold{jtimes k} \ + a_zb_xbold{ktimes i} + a_zb_ybold{ktimes j} + a_zb_zbold{ktimes k }
Kemudian, dengan menggunakan hubungan vektor satuan di atas, ini disederhanakan menjadi:
bold{atimes b} = a_xb_ybold{itimes j} – a_xb_zbold{ktimes i} – a_yb_xbold{itimes j} + a_yb_zbold{jtimes k} + a_zb_x bold{kkali i} – a_zb_ybold{jkali k}\ = (a_xb_y – a_yb_x)bold{ikali j} + (a_zb_x – a_xb_z)bold{kkali i} + ( a_yb_z – a_zb_y)bold{jtimes k}\ = (a_yb_z – a_zb_y)bold{i} + (a_zb_x – a_xb_z)bold{j} + (a_xb_y – a_yb_x)bold{k}
( Perhatikan bahwa suku-suku yang perkalian silangnya adalah 0, adalah suku-suku yang membentuk perkalian titik (disebut juga perkalian skalar)! Ini bukan kebetulan.)
Dengan kata lain:
bold{atimes b} = bold{c} = (c_x, c_y, c_z) text{ di mana} \ c_x = a_yb_z – a_zb_y \ c_y = a_zb_x – a_xb_z \ c_z = a_xb_y – a_yb_x
Besarnya perkalian silang dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Rumus perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai determinan dari matriks berikut:
bold{atimes b} = Bigg|begin{matrix} bold{i}&bold{j}&bold{k}\ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_zend {matrix}Besar| \ = Besar|begin{matrix}a_y & a_z \b_y & b_zend{matrix}Besar|bold{i} -Besar|begin{matrix}a_x & a_z\b_x & b_z end{matrix}Big|bold{j} + Big|begin{matrix} a_x & a_y \ b_x & b_y end{matrix}Big|bold{k} text{Dimana determinan } Besar|begin{matrix} a & b \ c & d end{matrix}Besar| = ad – bc
Formulasi produk silang lainnya, seringkali sangat nyaman, adalah (lihat bagian akhir artikel ini untuk derivasi):
bold{a × b} = |bold{a}| |bold{b}| sin(θ) bold{n}
Di mana:
- | sebuah | adalah besar (panjang) vektor a
- | b | adalah besar (panjang) vektor b
- θ adalah sudut antara a dan b
- n adalah vektor satuan yang tegak lurus bidang yang dibentang oleh a dan b
Vektor Tegak Lurus dan Aturan Tangan Kanan
Pada uraian hasil kali silang dinyatakan bahwa arah hasil kali silang tegak lurus bidang yang dibentang oleh vektor a dan vektor b . Tapi ini menyisakan dua kemungkinan: Ini mungkin menunjuk ke luar bidang atau ke dalam bidang yang dibentang oleh vektor-vektor itu. Kenyataannya adalah, kita sebenarnya bisa memilih salah satunya selama kita konsisten. Namun, arah favorit yang dipilih oleh matematikawan dan ilmuwan ditentukan oleh sesuatu yang disebut aturan tangan kanan .
Untuk menentukan arah perkalian silang vektor menggunakan aturan tangan kanan, arahkan jari telunjuk tangan kanan ke arah vektor a dan jari tengah ke arah vektor b . Ibu jari Anda kemudian menunjuk ke arah vektor perkalian silang.
Kadang-kadang arah ini sulit untuk digambarkan pada selembar kertas datar, sehingga konvensi berikut sering dibuat:
Untuk menunjukkan vektor yang masuk ke halaman, kita menggambar lingkaran dengan tanda X di dalamnya (anggap ini mewakili bulu ekor di ujung panah saat Anda melihatnya dari belakang). Untuk menunjukkan vektor yang berlawanan arah dari halaman, kita menggambar lingkaran dengan titik di dalamnya (anggap ini sebagai ujung panah yang menunjuk ke luar halaman).
na
Properti Produk Salib
Berikut adalah beberapa sifat perkalian silang vektor:
#Teks 1. Jika } bold{a} text{ dan } bold{b} text{ sejajar, maka } bold{atimes b} = 0 #text{2. }bold{akali b} = -bold{bkali a} #text{3. }bold{atimes (b + c)} = bold{atimes b} + bold{atimes c} #text{4. }(cbold{a)times b} = c(bold{atimes b}) #text{5. }bold{acdot (btimes c}) = bold{(atimes b)cdot c} text{Dimana }bold{acdot (btimes c}) =Bigg| begin{matrix} a_x & a_y & a_z \b_x & b_y & b_z\c_x & c_y & c_zend{matrix}Bigg|
Interpretasi Geometris Produk Silang
Ketika perkalian silang vektor diformulasikan dalam bentuk sin(θ), besarnya dapat diinterpretasikan sebagai representasi luas jajaran genjang yang direntangkan oleh dua vektor. Ini karena untuk a × b , | b |sin(θ) = tinggi jajaran genjang, seperti yang ditunjukkan, dan | a | adalah dasar.
Dan Chen | Sains
Magnitudo perkalian tiga vektor a (b × c) pada gilirannya dapat diartikan sebagai volume paralelepiped yang dibentang oleh vektor a , b , dan c . Hal ini karena ( b × c) memberikan vektor yang besarnya adalah luas yang direntang oleh vektor b dan vektor c , dan arahnya tegak lurus terhadap luas tersebut. Mengambil perkalian titik dari vektor a dengan hasil ini, pada dasarnya mengalikan luas alas dengan tinggi.
Contoh
Contoh 1: Gaya pada partikel bermuatan q yang bergerak dengan kecepatan v dalam medan magnet B diberikan oleh:
bold{F} = qbold{vkali B}
Misalkan sebuah elektron melewati medan magnet 0,005 T dengan kecepatan 2×10 7 m/s. Jika melewati bidang secara tegak lurus, maka gaya yang akan dirasakan adalah:
bold{F} = qbold{vtimes B} = qvBsin(theta)bold{n} = (-1,602times 10^{19})(2times 10^7)(0,005 )sin(90)bold{n} =-1,602kali 10^{-14}text{ N}bold{n}
Namun, jika elektron bergerak sejajar dengan medan, maka θ = 0, dan sin(0) = 0, sehingga gaya menjadi 0.
Perhatikan bahwa untuk elektron yang melewati medan secara tegak lurus, gaya ini akan menyebabkannya bergerak dalam jalur melingkar. Jari-jari jalur melingkar ini dapat ditemukan dengan menyetel gaya magnet sama dengan gaya sentripetal dan memecahkan jari-jari r :
F_{mag} = qvBsin(90) = qvB = frac{mv^2}{r} = F_{cent}\ implies r = frac{mv}{qB}
Untuk contoh di atas, memasukkan angka menghasilkan radius sekitar 0,0227 m.
Contoh 2: Torsi besaran fisik juga dihitung menggunakan produk silang vektor. Jika gaya F diterapkan ke objek pada posisi r dari titik pivot, torsi Ï „ terhadap titik pivot diberikan oleh:
bold{tau} =
bold{rkali F}
Pertimbangkan situasi di mana gaya 7 N diterapkan pada sudut ke ujung batang 0,75 yang ujung lainnya menempel pada poros. Sudut antara r dan F adalah 70 derajat, sehingga torsi dapat dihitung:
bold{tau} = bold{rkali F} = rFsin(theta) = (0,75)(7)sin(70)bold{n} = 4,93 text{Nm }bold{ n}
Arah torsi, n , ditemukan melalui aturan tangan kanan. Jika diterapkan pada gambar di atas, ini memberikan arah keluar dari halaman atau layar. Secara umum, torsi yang diterapkan pada suatu objek akan menyebabkan objek berputar. Vektor torsi akan selalu terletak pada arah yang sama dengan sumbu rotasi.
Bahkan, aturan tangan kanan yang disederhanakan dapat digunakan dalam situasi ini: Gunakan tangan kanan Anda untuk “memegang” sumbu rotasi sedemikian rupa sehingga jari-jari Anda melingkar ke arah torsi yang terkait akan menyebabkan objek berputar. . Ibu jari Anda kemudian menunjuk ke arah vektor torsi.
Derivasi Rumus Produk Silang
text{Disini kami akan menunjukkan bagaimana rumus perkalian silang } bold{a × b} = |bold{a}| |bold{b}| sin(θ) bold{n} text{ dapat diturunkan.}
Pertimbangkan dua vektor a dan b dengan sudut θ di antaranya. Segitiga siku-siku dapat dibentuk dengan menarik garis dari ujung vektor a ke titik kontak tegak lurus pada vektor b .
Menggunakan teorema Pythagoras, kami mendapatkan hubungan berikut:
Besar|Besar(frac{bold{acdot b}}{|bold{b}|^2}Besar)bold{b}Besar|^2 + (|bold{a} |sin(theta))^2 = |bold{a}|^2 text{Dimana }Big(frac{bold{acdot b}}{|bold{b}|^2 }Big)bold{b} text{ adalah proyeksi vektor } bold{a} text{ ke vektor } bold{b}.
Menyederhanakan ekspresi sedikit, kita mendapatkan yang berikut:
frac{|bold{acdot b}|^2}{|bold{b}|^2} + |bold{a}|^2sin^2(theta) = |bold{ a}|^2
Selanjutnya, kalikan kedua sisi persamaan dengan | b | 2 dan pindahkan suku pertama ke ruas kanan untuk mendapatkan:
|bold{a}|^2|bold{b}|^2sin^2(theta) = |bold{a}|^2|bold{b}|^2 – |bold{ acdot b}|^2
Bekerja dengan sisi kanan, kalikan semuanya dan sederhanakan:
|bold{a}|^2|bold{b}|^2 – |bold{acdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\ – (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \ – 2a_xa_yb_xb_y – 2a_xa_zb_xb_z – 2a_ya_zb_yb_z \ = (a_yb_z – a_zb_y)^2 + (a_zb_x – a_xb_z)^2 + (a_zb_x – a_xb_z)^ + (a_xb_y – a_yb_x)^2\ = |bold{atimes b}|^2
Mengatur hasilnya sama dengan sisi kiri persamaan sebelumnya, kita mendapatkan hubungan berikut:
|bold{akali b}| = |bold{a}||bold{b}||sin(theta)|
Ini menunjukkan kepada kita bahwa besaran dalam rumus adalah sama, jadi hal terakhir yang harus dilakukan untuk membuktikan rumus tersebut adalah menunjukkan bahwa arahnya juga sama. Ini dapat dilakukan hanya dengan mengambil produk titik dari a dengan a × b dan b dengan a × b dan menunjukkannya adalah 0, menyiratkan bahwa arah a × b adalah tegak lurus keduanya.
Dan Chen | Sains
