Persamaan kinematika menggambarkan gerak suatu benda yang mengalami percepatan konstan. Persamaan ini menghubungkan variabel waktu, posisi, kecepatan, dan percepatan benda bergerak, memungkinkan salah satu dari variabel ini diselesaikan jika yang lain diketahui.
Di bawah ini adalah penggambaran suatu benda yang mengalami gerak percepatan konstan dalam satu dimensi. Variabel t adalah untuk waktu, posisi adalah x, kecepatan v dan percepatan a . Subskrip i dan f masing-masing mewakili “awal” dan “akhir”. Diasumsikan bahwa t = 0 pada x i dan v i .
(Masukkan gambar 1)
Daftar Persamaan Kinematik
Ada tiga persamaan kinematik utama yang tercantum di bawah ini yang berlaku saat bekerja dalam satu dimensi. Persamaan ini adalah:
#text{1: } v_f=v_i+at\ #text{2: } x_f=x_i+v_i t+frac 1 2 at^2\ #text{3: }(v_f)^ 2 = (v_i)^2+2a(x_f – x_i)
Catatan Tentang Persamaan Kinematik
- Persamaan ini hanya bekerja dengan percepatan konstan (yang mungkin nol dalam kasus kecepatan konstan).
- Bergantung pada sumber mana yang Anda baca, besaran akhir mungkin tidak memiliki subskrip f , dan/atau mungkin direpresentasikan dalam notasi fungsi sebagai x(t) – dibaca “ x sebagai fungsi waktu†atau “ x pada waktu t †– dan v(t) . Perhatikan bahwa x(t) TIDAK berarti x dikalikan dengan t !
- Terkadang kuantitas x f – x i ditulis
Δx , yang berarti “perubahan dalam x ,” atau bahkan hanya sebagai d , yang berarti perpindahan. Semuanya setara. Posisi, kecepatan, dan percepatan adalah besaran vektor, artinya mereka memiliki arah yang terkait dengannya. Dalam satu dimensi, arah biasanya ditunjukkan dengan tanda – besaran positif berada di arah positif dan besaran negatif berada di arah negatif. Subskrip: “0” mungkin digunakan untuk posisi dan kecepatan awal alih-alih i . “0” ini berarti “pada t = 0″, dan x 0 dan v 0 biasanya diucapkan “x-naught” dan “v-naught”. * Hanya satu persamaan yang tidak termasuk waktu. Saat menuliskan yang diberikan dan menentukan persamaan apa yang akan digunakan, ini adalah kuncinya!
Kasus Khusus: Jatuh Bebas
Gerak jatuh bebas adalah gerak benda yang dipercepat hanya karena gravitasi tanpa adanya hambatan udara. Persamaan kinematik yang sama berlaku; namun, nilai percepatan di dekat permukaan bumi diketahui. Besarnya percepatan ini sering dinyatakan dengan g , dimana g = 9,8 m/s 2 . Arah percepatan ini adalah ke bawah, menuju permukaan bumi. (Perhatikan bahwa beberapa sumber mungkin mendekati g sebagai 10 m/s 2 , dan yang lain mungkin menggunakan nilai yang akurat hingga lebih dari dua tempat desimal.)
Strategi Pemecahan Masalah Soal Kinematika Satu Dimensi:
Buat sketsa diagram situasi dan pilih sistem koordinat yang sesuai. (Ingat bahwa x , v dan a semuanya adalah besaran vektor, jadi dengan menetapkan arah positif yang jelas, akan lebih mudah untuk melacak tanda-tandanya.)
Tulis daftar jumlah yang diketahui. (Hati-hati bahwa kadang-kadang yang diketahui tidak jelas. Carilah frasa seperti “mulai dari diam”, artinya v i = 0, atau “jatuh ke tanah”, artinya x f = 0, dan seterusnya .)
Tentukan jumlah pertanyaan yang ingin Anda temukan. Apa yang tidak diketahui yang akan Anda pecahkan?
Pilih persamaan kinematik yang sesuai. Ini akan menjadi persamaan yang memuat besaran yang tidak diketahui bersama dengan besaran yang diketahui.
Selesaikan persamaan untuk besaran yang tidak diketahui, lalu masukkan nilai yang diketahui dan hitung jawaban akhirnya. (Hati-hati dengan satuan! Terkadang Anda perlu mengonversi satuan sebelum menghitung.)
Contoh Kinematika Satu Dimensi
Contoh 1: Sebuah iklan mengklaim bahwa sebuah mobil sport dapat melaju dari 0 hingga 60 mph dalam 2,7 detik. Berapakah percepatan mobil tersebut dalam m/s 2 ? Berapa jarak yang ditempuh selama 2,7 detik ini?
Larutan:
(Masukkan Gambar 2)
Kuantitas yang diketahui dan tidak diketahui:
v_i=0teks{ mph}\ v_f=60teks{ mph}\ t=2.7teks{ s}\ x_i=0\ a=teks{?}\ x_f=teks{? }
Bagian pertama dari pertanyaan membutuhkan penyelesaian untuk percepatan yang tidak diketahui. Di sini kita dapat menggunakan persamaan #1:
v_f=v_i+atmenyiratkan a =frac {(v_f-v_i)} t
Namun, sebelum kita memasukkan angka, kita perlu mengonversi 60 mph ke m/s:
60batal{text{ mph}}Bigg( frac {0.477text{ m/s}} {cancel{text{mph}}}Bigg)=26.8text{ m/s}
Maka percepatannya adalah :
a=frac {(26.8-0)} {2.7}=underline{bold{9.93}text{ m/s}^2}
Untuk mencari jarak yang ditempuh dalam waktu tersebut, kita dapat menggunakan persamaan #2:
x_f=x_i+v_it+frac 1 2 at^2=frac 1 2 times 9.93 times 2.7^2=underline{bold{36.2}text{ m}}
Contoh 2: Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan 15 m/s dari ketinggian 1,5 m. Berapakah kecepatannya saat menyentuh tanah? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah?
Larutan:
(Masukkan gambar 3 )
Kuantitas yang diketahui dan tidak diketahui:
x_i=1.5teks{ m}\x_f=0teks{ m}\v_i=15teks{ m/s}\a=-9.8teks{ m/s}^2\v_f=? \t=?
Untuk menyelesaikan bagian pertama, kita dapat menggunakan persamaan #3:
(v_f)^2=(v_i)^2+2a(x_f-x_i)menyiratkan v_f=pm sqrt{(v_i)^2+2a(x_f-x_i)}
Semuanya sudah dalam satuan yang konsisten, jadi kita bisa memasukkan nilai:
v_f=pm sqrt{15^2+2(-9.8)(0-1.5)}=pmsqrt{254.4}approxpm16text{ m/s}
Ada dua solusi di sini. Yang mana yang benar? Dari diagram kita, kita dapat melihat bahwa kecepatan akhir harus negatif. Jadi jawabannya adalah:
v_f=underline{bold{-16}text{ m/s}}
Untuk menyelesaikan waktu, kita dapat menggunakan persamaan #1 atau persamaan #2. Karena persamaan #1 lebih mudah untuk dikerjakan, kita akan menggunakan persamaan itu:
v_f=v_i+atmenyiratkan t=frac {(v_f-v_i)} {a}=frac {(-16-15)}{-9.8}approx underline{bold{3.2}text{ s }}
Perhatikan bahwa jawaban untuk bagian pertama dari pertanyaan ini bukanlah 0 m/s. Meskipun benar bahwa setelah bola mendarat, ia akan memiliki kecepatan 0, pertanyaan ini ingin mengetahui seberapa cepat bola itu bergerak dalam sepersekian detik sebelum tumbukan. Begitu bola bersentuhan dengan tanah, persamaan kinematik kita tidak lagi berlaku karena percepatan tidak akan konstan.
Persamaan Kinematik Gerak Peluru (Dua Dimensi)
Proyektil adalah benda yang bergerak dalam dua dimensi di bawah pengaruh gravitasi bumi. Lintasannya adalah parabola karena satu-satunya percepatan adalah karena gravitasi. Persamaan kinematik untuk gerak proyektil mengambil bentuk yang sedikit berbeda dari persamaan kinematik yang tercantum di atas. Kita menggunakan fakta bahwa komponen gerak yang saling tegak lurus – seperti arah horizontal x dan arah vertikal y – adalah independen.
Strategi Penyelesaian Masalah Proyektil Gerak Kinematika:
Sketsa diagram situasi. Sama seperti gerakan satu dimensi, akan sangat membantu untuk membuat sketsa skenario dan menunjukkan sistem koordinat. Alih-alih menggunakan label x , v dan a untuk posisi, kecepatan, dan percepatan, kita membutuhkan cara untuk memberi label gerak di setiap dimensi secara terpisah.
Untuk arah horizontal, paling umum menggunakan x untuk posisi dan v x untuk komponen kecepatan x (perhatikan bahwa percepatan adalah 0 untuk arah ini, jadi kita tidak memerlukan variabel untuk itu.) arah y , paling umum menggunakan y untuk posisi dan v y untuk komponen y dari kecepatan. Percepatan dapat diberi
label y atau kita dapat menggunakan fakta bahwa kita mengetahui percepatan gravitasi adalah g dalam arah negatif y, dan gunakan saja itu.
Tulislah daftar besaran yang diketahui dan tidak diketahui dengan membagi soal menjadi dua bagian: gerak vertikal dan horizontal. Gunakan trigonometri untuk mencari komponen x dan y dari besaran vektor apa pun yang tidak terletak sepanjang sumbu. Akan sangat membantu jika mencantumkan ini dalam dua kolom:
(masukkan tabel 1)
Catatan: Jika kecepatan dinyatakan sebagai besaran bersama dengan sudut, Ѳ , di atas horizontal, maka gunakan dekomposisi vektor, v x = vcos(Ѳ) dan v y = vsin(Ѳ) .
Kita dapat mempertimbangkan tiga persamaan kinematik kita dari sebelumnya dan mengadaptasinya masing-masing ke arah x dan y.
arah X:
x_f=x_i+v_xt
arah Y:
v_{yf}=v_{yi}-gt\ y_f=y_i+v_{yi} t-frac 1 2 gt^2\ (v_{yf})^2 = (v_{yi})^2- 2g(y_f – y_i)
Perhatikan bahwa percepatan dalam arah y adalah -g jika kita menganggap ke atas positif. Kesalahpahaman yang umum adalah bahwa g = -9,8 m/s 2 , tetapi ini tidak benar; g sendiri hanyalah besarnya percepatan: g = 9,8 m/s 2 , jadi kita perlu menentukan bahwa percepatannya negatif.
Selesaikan satu yang tidak diketahui di salah satu dimensi tersebut, lalu hubungkan apa yang umum di kedua arah. Sedangkan gerak pada dua dimensi bersifat independen, terjadi pada skala waktu yang sama, sehingga variabel waktu pada kedua dimensi sama. (Waktu yang diperlukan bola untuk melakukan gerak vertikal sama dengan waktu yang dibutuhkan bola untuk melakukan gerak horizontal.)
Contoh Kinematika Gerak Proyektil
Contoh 1: Sebuah proyektil diluncurkan mendatar dari tebing setinggi 20 m dengan kecepatan awal 50 m/s. Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tanah? Berapa jauh dari dasar tebing itu mendarat?
(masukkan gambar 4)
Kuantitas yang diketahui dan tidak diketahui:
(masukkan tabel 2)
Kita dapat mencari waktu yang diperlukan untuk mencapai tanah dengan menggunakan persamaan gerak vertikal kedua:
y_f=y_i+v_{yi} t-frac 1 2 gt^2menyiratkan t=sqrt{frac{(2times 20)} g}=underline{ bold{2.02}text{ s} }
Kemudian untuk menemukan di mana ia mendarat, x f , kita dapat menggunakan persamaan gerak horizontal:
x_f=x_i+v_xt=50times2.02=underline{bold{101}text{ s}}
Contoh 2: Sebuah bola diluncurkan dengan kecepatan 100 m/s dari permukaan tanah dengan sudut 30 derajat terhadap horizontal. Di mana ia mendarat? Kapan kecepatannya paling kecil? Apa lokasinya saat ini?
(masukkan gambar 5)
Kuantitas yang diketahui dan tidak diketahui:
Pertama kita perlu memecah vektor kecepatan menjadi komponen:
v_x=v_icos(theta)=100cos(30)kira-kira 86,6 text{ m/s}\ v_{yi}=v_isin(theta)=100sin(30)=50 teks{ m/s}
Tabel jumlah kami kemudian:
(masukkan tabel 3)
Pertama kita perlu menemukan waktu bola dalam penerbangan. Kita dapat melakukannya dengan persamaan vertikal kedua_. Perhatikan bahwa kita menggunakan simetri parabola untuk menentukan bahwa kecepatan akhir _y adalah negatif dari awal:
Kemudian kami menentukan seberapa jauh ia bergerak ke arah x saat ini:
x_f=x_i+v_xt=86.6times 10.2approxunderline{bold{883}text m}
Dengan menggunakan simetri lintasan parabola, kita dapat menentukan bahwa kecepatan terkecil pada 5,1 s , ketika proyektil berada pada puncak geraknya dan komponen kecepatan vertikal adalah 0. Komponen x dan y dari geraknya pada kali ini adalah:
x_f=x_i+v_xt=86.6times 5.1approxunderline{bold{442}text m}\ y_f=y_i+v_{yi} t-frac 1 2 gt^2=50times5.1- frac 1 2 9.8 times 5.1^2approx underline{bold{128}text{ m}}
Derivasi Persamaan Kinematik
Persamaan #1: Jika percepatan konstan, maka:
a=frac{(v_f-v_i)}{t}
Memecahkan untuk kecepatan, kami memiliki:
v_f=v_i+at
Persamaan #2: Kecepatan rata-rata dapat ditulis dalam dua cara:
v_{avg}=frac{(x_f-x_i)}{t}=frac{(v_f+v_i)}{2}
Jika kita mengganti _v f _dengan ekspresi dari persamaan #1, kita mendapatkan:
frac{(x_f-x_i)}{t}=frac{((v_i+at)+v_i)}{2}
Pemecahan untuk x f memberikan:
x_f=x_i+v_i t+frac 1 2 di^2
Persamaan #3: Mulailah dengan memecahkan t dalam persamaan #1
v_f=v_i+at menyiratkan t=frac{(v_f-v_i)}{a}
Masukkan ungkapan ini untuk t dalam hubungan kecepatan rata-rata:
v_{avg}=frac{(x_f-x_i)}{t}=frac{(v_f+v_i)}{2}menyiratkan frac{(x_f-x_i)}{(frac{(v_f-v_i )}{a})}=frac{(v_f+v_i)}{2}
Mengatur ulang ungkapan ini memberikan:
(v_f)^2 = (v_i)^2+2a(x_f – x_i)
