Setelah Anda mulai mengerjakan trigonometri dan kalkulus, Anda mungkin menemukan ekspresi seperti sin(2 θ ), di mana Anda diminta untuk mencari nilai θ . Bermain coba-coba dengan bagan atau kalkulator untuk menemukan jawabannya akan berkisar dari mimpi buruk yang berlarut-larut hingga sama sekali tidak mungkin. Untungnya, identitas sudut ganda ada di sini untuk membantu. Ini adalah contoh khusus dari apa yang dikenal sebagai rumus majemuk, yang memecah fungsi bentuk ( A + B ) atau ( A – B ) menjadi fungsi A dan B saja .
Identitas Sudut Ganda untuk Sine
Ada tiga identitas sudut ganda, masing-masing untuk fungsi sinus, cosinus, dan tangen. Tetapi identitas sinus dan kosinus dapat ditulis dalam berbagai cara. Berikut adalah dua cara penulisan identitas sudut ganda untuk fungsi sinus:
sin(2θ) = 2sinθcosθ \ sin(2θ) = frac{2tanθ}{1 + tan^2θ}
Identitas Sudut Ganda untuk Cosinus
Bahkan ada lebih banyak cara untuk menulis identitas sudut ganda untuk kosinus:
cos(2θ) = cos^2θ – sin^2θ \ cos(2θ) = 2cos^2θ – 1 \ cos(2θ) = 1 – 2sin^ 2θ \ cos(2θ) = frac{1 – tan^2θ}{1 + tan^2θ}
Identitas Sudut Ganda untuk Tangen
Untungnya, hanya ada satu cara untuk menuliskan identitas sudut ganda untuk fungsi tangen:
tan(2θ) = frac{2tanθ}{1 – tan^2θ}
Menggunakan Identitas Sudut Ganda
Bayangkan Anda dihadapkan dengan segitiga siku-siku di mana Anda mengetahui panjang sisinya, tetapi tidak mengetahui ukuran sudutnya. Anda telah diminta untuk menemukan θ , di mana θ adalah salah satu sudut segitiga. Jika hipotenusa segitiga berukuran 10 satuan, sisi yang berdekatan dengan sudut Anda berukuran 6 satuan dan sisi yang berlawanan dengan sudut berukuran 8 satuan, tidak masalah jika Anda tidak mengetahui ukuran θ ; Anda dapat menggunakan pengetahuan Anda tentang sinus dan kosinus, ditambah salah satu rumus sudut ganda, untuk menemukan jawabannya.
Setelah Anda memilih sudut, Anda dapat menentukan sinus sebagai rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, dan kosinus sebagai rasio sisi yang berdekatan dengan sisi miring. Jadi dalam contoh yang baru saja diberikan, Anda memiliki:
sinθ = frac{8}{10} \ ,\ cosθ = frac{6}{10}
Anda menemukan kedua ekspresi ini karena merupakan blok penyusun paling penting untuk rumus sudut ganda.
Karena ada begitu banyak rumus sudut ganda yang dapat dipilih, Anda dapat memilih rumus yang terlihat lebih mudah untuk dihitung dan akan mengembalikan jenis informasi yang Anda perlukan. Dalam hal ini, karena Anda sudah mengetahui sin θ dan cos θ , jelas bahwa ungkapan yang paling nyaman adalah:
sin(2θ) = 2sinθcosθ
Kamu sudah mengetahui nilai sinθ dan cosθ, jadi substitusikan ke dalam persamaan:
sin(2θ) = 2 × frac{8}{10} × frac{6}{10}
Setelah disederhanakan, Anda akan memiliki:
sin(2θ) = frac{96}{100}
Sebagian besar bagan trigonometri diberikan dalam bentuk desimal, jadi selanjutnya kerjakan pembagian yang diwakili oleh pecahan untuk mengubahnya menjadi bentuk desimal. Sekarang kamu punya:
sin(2θ) = 0,96
Terakhir, temukan invers sinus atau arcsine dari 0,96, yang ditulis sebagai sin −1 (0,96). Atau, dengan kata lain, gunakan kalkulator atau bagan Anda untuk memperkirakan sudut yang memiliki sinus 0,96. Ternyata, hampir persis sama dengan 73,7 derajat. Jadi 2 θ = 73,7 derajat.
Bagilah setiap sisi persamaan dengan 2. Hasilnya:
θ = 36,85 text{ derajat}
demaerre/iStock/GettyImages
