Cara terbaik untuk memfaktorkan polinomial dengan pecahan dimulai dengan mereduksi pecahan menjadi suku yang lebih sederhana. Polinomial mewakili ekspresi aljabar dengan dua suku atau lebih, lebih khusus lagi, jumlah dari beberapa suku yang memiliki ekspresi berbeda dari variabel yang sama. Strategi yang membantu menyederhanakan polinomial melibatkan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, diikuti dengan mengelompokkan persamaan ke dalam suku terendahnya. Hal yang sama berlaku bahkan saat menyelesaikan polinomial dengan pecahan.
Polinomial dengan Pecahan Ditentukan
Anda memiliki tiga cara untuk melihat frase polinomial dengan pecahan. Interpretasi pertama membahas polinomial dengan pecahan untuk koefisien. Dalam aljabar, koefisien didefinisikan sebagai jumlah kuantitas atau konstanta yang ditemukan sebelum variabel. Dengan kata lain, koefisien untuk 7_a_, b dan (1/3) c masing-masing adalah 7, 1 dan (1/3). Oleh karena itu, dua contoh polinomial dengan koefisien pecahan adalah:
frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 text{ dan } x^2 + frac{3}{4}x + frac{1}{8}
Interpretasi kedua “polinomial dengan pecahan” mengacu pada polinomial yang ada dalam bentuk pecahan atau rasio dengan pembilang dan penyebut, di mana polinomial pembilang dibagi dengan polinomial penyebut. Sebagai contoh, interpretasi kedua ini diilustrasikan oleh:
frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
Interpretasi ketiga, sementara itu, berkaitan dengan dekomposisi fraksi parsial, juga dikenal sebagai ekspansi fraksi parsial. Kadang-kadang pecahan polinomial bersifat kompleks sehingga ketika “diuraikan” atau “dipecah” menjadi suku yang lebih sederhana, mereka disajikan sebagai penjumlahan, selisih, hasil kali, atau hasil bagi dari pecahan polinomial. Sebagai ilustrasi, pecahan polinomial kompleks dari:
frac{8x + 7}{x^2 + x – 2}
dievaluasi melalui dekomposisi pecahan parsial, yang, kebetulan, melibatkan pemfaktoran polinomial, menjadi, dalam bentuk yang paling sederhana:
bigg(frac{3}{x+2}bigg)+bigg(frac{5}{x-1}bigg)
Dasar-dasar Pemfaktoran – Sifat Distributif dan Metode FOIL
Faktor mewakili dua angka yang jika dikalikan sama dengan angka ketiga. Dalam persamaan aljabar, pemfaktoran menentukan dua kuantitas yang dikalikan bersama untuk mendapatkan polinomial tertentu. Sifat distributif sangat diikuti saat mengalikan polinomial. Sifat distributif pada dasarnya memungkinkan seseorang untuk mengalikan jumlah dengan mengalikan setiap angka satu per satu sebelum menambahkan produk. Amati, misalnya, bagaimana sifat distributif diterapkan dalam contoh:
7(10x + 5) text{ untuk mendapatkan binomial dari } 70x + 35.
Namun, jika dua binomial dikalikan bersama, maka versi tambahan dari sifat distributif digunakan melalui metode FOIL. FOIL merupakan akronim untuk First, Outer, Inner, dan Last term yang dikalikan. Oleh karena itu, memfaktorkan polinomial mengharuskan melakukan metode FOIL mundur. Ambil dua contoh yang disebutkan di atas dengan polinomial yang mengandung koefisien pecahan. Melakukan metode FOIL secara terbalik pada masing-masingnya menghasilkan faktor dari
bigg(frac{1}{2}x + 2bigg)bigg(frac{1}{2}x + 10bigg)
untuk polinomial pertama, dan faktor dari
bigg(x + frac{1}{4}bigg)bigg(x + frac{1}{2}bigg)
untuk polinomial kedua.
Contoh:
frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = bigg(frac{1}{2}x + 2bigg)bigg(frac{1}{2}x + 10bigg)
Contoh:
x^2 + frac{3}{4}x + frac{1}{8} = bigg(x + frac{1}{4}bigg)bigg(x + frac{1}{ 2}besar)
Langkah-langkah yang Dilakukan Saat Memfaktorkan Pecahan Polinomial
Dari atas, pecahan polinomial melibatkan polinomial di pembilang dibagi dengan polinomial di penyebut. Mengevaluasi pecahan polinomial dengan demikian mengharuskan memfaktorkan polinomial pembilangnya terlebih dahulu diikuti dengan memfaktorkan polinomial penyebutnya. Ini membantu untuk menemukan faktor persekutuan terbesar, atau FPB, antara pembilang dan penyebut. Setelah FPB pembilang dan penyebutnya ditemukan, FPB ditiadakan, yang pada akhirnya mereduksi seluruh persamaan menjadi suku-suku yang disederhanakan. Pertimbangkan contoh pecahan polinomial asli di atas
frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
Memfaktorkan polinomial pembilang dan penyebut untuk mencari FPB menghasilkan:
frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
dengan GCF menjadi ( x + 2).
FPB pada pembilang dan penyebut saling meniadakan untuk memberikan jawaban akhir dengan suku terendah dari ( x + 5) ÷ ( x + 9).
Contoh:
begin{aligned} frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= frac{cancel{(x + 2)}(x + 5)}{cancel{( x + 2)}(x + 9)} \ &=frac{x + 5}{x + 9} end{aligned}
Mengevaluasi Persamaan melalui Dekomposisi Pecahan Parsial
Dekomposisi pecahan parsial, yang melibatkan pemfaktoran, adalah cara menulis ulang persamaan pecahan polinomial kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana. Meninjau kembali contoh dari atas
frac{8x + 7}{x^2 + x – 2}
Sederhanakan Penyebutnya
Sederhanakan penyebutnya menjadi:
frac{8x + 7}{x^2 + x – 2} = frac{8x + 7}{(x + 2)(x – 1)}
Atur ulang Numerator
Selanjutnya, susun ulang pembilangnya sehingga GCF-nya mulai ada di penyebutnya, untuk mendapatkan:
begin{aligned} frac{8x + 7}{(x + 2)(x – 1)} &= frac{ 3x + 5x – 3 + 10 }{(x + 2)(x – 1)} &= frac{3x – 3}{(x + 2)(x – 1)} + frac{5x + 10 }{(x + 2)(x – 1)} \ end{sejajar}
Untuk penjumlahan kiri, FPBnya adalah ( x – 1), sedangkan untuk penjumlahan kanan, FPBnya adalah ( x + 2), yang saling menghilangkan pada pembilang dan penyebutnya, seperti terlihat pada:
frac{3x – 3}{(x + 2)(x – 1)} + frac{5x + 10 }{(x + 2)(x – 1)} = frac{3batal{(x – 1)}}{(x + 2)batal{(x – 1)}} + frac{5batal{(x + 2)}}{batal{(x + 2)}(x – 1) }
Jadi, ketika GCF dibatalkan, jawaban terakhir yang disederhanakan adalah:
frac{3}{x + 2} + frac{5}{x – 1}
sebagai solusi dari dekomposisi fraksi parsial.
OksanaRadchenko/iStock/GettyImages
