Begitu Anda mulai memecahkan persamaan aljabar yang melibatkan polinomial, kemampuan untuk mengenali bentuk polinomial khusus yang mudah difaktorkan menjadi sangat berguna. Salah satu polinomial “faktor mudah” yang paling berguna untuk dikenali adalah kuadrat sempurna, atau trinomial yang dihasilkan dari mengkuadratkan binomial. Setelah Anda mengidentifikasi kuadrat sempurna, memfaktorkannya ke dalam komponen individualnya seringkali merupakan bagian penting dari proses pemecahan masalah.
Mengidentifikasi Trinomial Kuadrat Sempurna
Sebelum Anda dapat memfaktorkan trinomial kuadrat sempurna, Anda harus belajar mengenalinya. Bujur sangkar sempurna dapat mengambil salah satu dari dua bentuk
a^2 + 2ab + b^2 text{, yang merupakan perkalian dari } (a + b)(a + b) = (a + b)^2 \ a^2 – 2ab + b^2 text {, yang merupakan perkalian dari } (a – b)(a – b) = (a – b)^2
Beberapa contoh kuadrat sempurna yang mungkin Anda lihat di “dunia nyata” soal matematika meliputi:
x^2 + 8x + 16
Ini adalah hasil kali dari ( x + 4) 2 .
y^2 – 2y + 1
Ini adalah produk dari ( y – 1) 2 .
4x^2 + 12x + 9
Yang ini sedikit lebih licik; hasil kali dari (2 x + 3) 2 .
Apa kunci untuk mengenali kuadrat sempurna ini?
Periksa suku pertama dan ketiga dari trinomial tersebut. Apakah keduanya persegi? Jika ya, cari tahu apa itu kuadrat. Misalnya, dalam contoh “dunia nyata” kedua yang diberikan di atas:
y^2 – 2y + 1
suku y2 jelas kuadrat dari y . Suku 1 mungkin kurang jelas kuadrat dari 1, karena 1 2 = 1.
Kalikan akar suku pertama dan ketiga bersama-sama. Untuk melanjutkan contoh, itu y dan 1, yang memberi Anda y × 1 = 1 y atau hanya y .
Selanjutnya, kalikan hasil kali Anda dengan 2. Melanjutkan contoh, Anda memiliki 2 y .
Terakhir, bandingkan hasil langkah terakhir dengan suku tengah polinomial. Apakah mereka cocok? Dalam polinomial y 2 – 2 y + 1, mereka melakukannya. (Tandanya tidak relevan; juga akan cocok jika suku tengahnya adalah +2 y .)
Karena jawaban pada Langkah 1 adalah “ya” dan hasil Anda dari Langkah 2 cocok dengan suku tengah polinomial, Anda tahu bahwa Anda sedang melihat trinomial kuadrat sempurna.
Memfaktorkan Trinomial Kuadrat Sempurna
Setelah Anda mengetahui bahwa Anda sedang melihat trinomial kuadrat sempurna, proses pemfaktorannya cukup mudah.
Identifikasi akar, atau bilangan yang dikuadratkan, pada suku pertama dan ketiga dari trinomial. Perhatikan salah satu contoh trinomial Anda yang sudah Anda ketahui sebagai kuadrat sempurna:
x^2 + 8x + 16
Jelas angka yang dikuadratkan pada suku pertama adalah x . Bilangan yang dikuadratkan pada suku ketiga adalah 4, karena 4 2 = 16.
Pikirkan kembali rumus untuk trinomial kuadrat sempurna. Anda tahu faktor-faktor Anda akan berbentuk ( a + b )( a + b ) atau berbentuk ( a – b )( a – b ), di mana a dan b adalah bilangan-bilangan yang dikuadratkan pada suku pertama dan ketiga. Jadi, Anda dapat menuliskan faktor Anda seperti ini, dengan menghilangkan tanda di tengah setiap suku untuk saat ini:
(a ,? ,b)(a ,? ,b) = a^2 ,?, 2ab + b^2
Untuk melanjutkan contoh dengan mengganti akar trinomial Anda saat ini, Anda memiliki:
(x ,?, 4)(x , ?, 4) = x^2 + 8x + 16
Periksa suku tengah trinomial tersebut. Apakah itu memiliki tanda positif atau negatif (atau, dengan kata lain, apakah itu ditambahkan atau dikurangi)? Jika bertanda positif (atau dijumlahkan), maka kedua faktor trinomial tersebut memiliki tanda plus di tengahnya. Jika bertanda negatif (atau dikurangkan), kedua faktor bertanda negatif di tengah.
Suku tengah trinomial contoh saat ini adalah 8 x – positif – jadi sekarang Anda telah memfaktorkan trinomial kuadrat sempurna:
(x + 4)(x + 4) = x^2 + 8x + 16
Periksa pekerjaan Anda dengan mengalikan kedua faktor bersama-sama. Menerapkan FOIL atau metode pertama, luar, dalam, terakhir memberi Anda:
x^2 + 4x + 4x + 16
Menyederhanakan ini memberikan hasil x2 + 8 x + 16, yang cocok dengan trinomial Anda. Jadi faktornya benar.
Wavebreakmedia/iStock/GettyImages
