Jika Anda mengetahui dua titik yang jatuh pada kurva eksponensial tertentu, Anda dapat menentukan kurva tersebut dengan menyelesaikan fungsi eksponensial umum menggunakan titik-titik tersebut. Dalam praktiknya, ini berarti mensubstitusikan titik-titik untuk y dan x ke dalam persamaan y = ab x . Prosedurnya lebih mudah jika nilai x untuk salah satu titik adalah 0, yang berarti titik tersebut berada pada sumbu y. Jika tidak ada titik yang memiliki nilai x nol, proses penyelesaian untuk x dan y sedikit lebih rumit.
Mengapa Fungsi Eksponensial Penting
Banyak sistem penting mengikuti pola pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. Misalnya, jumlah bakteri dalam koloni biasanya meningkat secara eksponensial, dan radiasi ambien di atmosfer setelah peristiwa nuklir biasanya menurun secara eksponensial. Dengan mengambil data dan memplot kurva, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk membuat prediksi.
Dari Sepasang Poin ke Grafik
Setiap titik pada grafik dua dimensi dapat diwakili oleh dua bilangan, yang biasanya ditulis dalam bentuk (x, y), di mana x menyatakan jarak horizontal dari titik asal dan y menyatakan jarak vertikal. Misalnya, titik (2, 3) terletak dua satuan di sebelah kanan sumbu y dan tiga satuan di atas sumbu x. Sebaliknya, titik (-2, -3) terletak dua satuan di sebelah kiri sumbu y. dan tiga satuan di bawah sumbu x.
Jika Anda memiliki dua titik, (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ), Anda dapat menentukan fungsi eksponensial yang melewati titik-titik ini dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan y = ab x dan menyelesaikan a dan b. Secara umum, Anda harus menyelesaikan pasangan persamaan ini:
y 1 = ab x1 dan y 2 = ab x2, .
Dalam bentuk ini, matematika terlihat sedikit rumit, tetapi terlihat kurang rumit setelah Anda melakukan beberapa contoh.
Satu Titik pada sumbu X
Jika salah satu nilai x — misalkan x 1 — adalah 0, operasinya menjadi sangat sederhana. Misalnya, menyelesaikan persamaan untuk titik (0, 2) dan (2, 4) menghasilkan:
2 = ab 0 dan 4 = ab 2 . Karena kita tahu bahwa b 0 = 1, persamaan pertama menjadi 2 = a. Mensubstitusikan a ke dalam persamaan kedua menghasilkan 4 = 2b 2 , yang kita sederhanakan menjadi b 2 = 2, atau b = akar kuadrat dari 2, yang kira-kira sama dengan 1,41. Fungsi pendefinisiannya adalah y = 2 (1,41) x .
Tidak Ada Titik pada sumbu X
Jika tidak ada nilai x yang nol, menyelesaikan pasangan persamaan akan sedikit lebih rumit. Henochmath memandu kita melalui contoh mudah untuk mengklarifikasi prosedur ini. Dalam contohnya, dia memilih pasangan titik (2, 3) dan (4, 27). Ini menghasilkan pasangan persamaan berikut:
27 = ab4
3 = ab2
Jika Anda membagi persamaan pertama dengan yang kedua, Anda mendapatkan
9 = b2
jadi b = 3. Mungkin b juga sama dengan -3, tetapi dalam kasus ini, anggaplah positif.
Anda dapat mengganti nilai ini dengan b di salah satu persamaan untuk mendapatkan a. Lebih mudah menggunakan persamaan kedua, jadi:
3 = a(3) 2 yang dapat disederhanakan menjadi 3 = a9, a = 3/9 atau 1/3.
Persamaan yang melewati titik-titik ini dapat ditulis sebagai y = 1/3(3) x .
Contoh dari Dunia Nyata
Sejak 1910, pertumbuhan populasi manusia bersifat eksponensial, dan dengan memplot kurva pertumbuhan, para ilmuwan berada dalam posisi yang lebih baik untuk memprediksi dan merencanakan masa depan. Pada tahun 1910, populasi dunia adalah 1,75 miliar, dan pada tahun 2010 menjadi 6,87 miliar. Mengambil 1910 sebagai titik awal, ini memberikan pasangan titik (0, 1,75) dan (100, 6,87). Karena nilai x dari titik pertama adalah nol, kita dapat dengan mudah menemukan a.
1,75 = ab 0 atau a = 1,75. Memasukkan nilai ini, bersama dengan poin kedua, ke dalam persamaan eksponensial umum menghasilkan 6,87 = 1,75b 100 , yang memberikan nilai b sebagai akar keseratus dari 6,87/1,75 atau 3,93. Jadi persamaannya menjadi y = 1,75 (akar keseratus dari 3,93) x . Meskipun dibutuhkan lebih dari sekadar mistar hitung untuk melakukannya, para ilmuwan dapat menggunakan persamaan ini untuk memproyeksikan jumlah populasi di masa depan guna membantu politisi saat ini untuk membuat kebijakan yang tepat.
Nok_Chaiwut/iStock/GettyImages
