Persamaan bidang dalam ruang tiga dimensi dapat ditulis dalam notasi aljabar sebagai ax + by + cz = d, dengan setidaknya salah satu konstanta bilangan real “a”, “b”, dan “c” tidak boleh nol, dan “x”, “y” dan “z” mewakili sumbu bidang tiga dimensi. Jika diberikan tiga titik, Anda dapat menentukan bidang menggunakan perkalian silang vektor. Vektor adalah garis dalam ruang. Produk silang adalah perkalian dua vektor.
Dapatkan tiga poin di pesawat. Beri label “A”, “B”, dan “C”. Misalnya, asumsikan titik-titik ini adalah A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); dan C = (1, 3, 4).
Temukan dua vektor berbeda di pesawat. Dalam contoh, pilih vektor AB dan AC. Vektor AB bergerak dari titik-A ke titik-B, dan vektor AC bergerak dari titik-A ke titik-C. Jadi kurangi setiap koordinat di titik-A dari setiap koordinat di titik-B untuk mendapatkan vektor AB: (-2, 3, 1). Demikian pula, vektor AC adalah titik-C dikurangi titik-A, atau (-2, 2, 3).
Hitung perkalian silang dari dua vektor untuk mendapatkan vektor baru, yang normal (atau tegak lurus atau ortogonal) untuk masing-masing vektor dan juga untuk bidang. Perkalian silang dari dua vektor, (a1, a2, a3) dan (b1, b2, b3), diberikan oleh N = i(a2b3 – a3b2) + j(a3b1 – a1b3) + k(a1b2 – a2b1). Dalam contoh, perkalian silang, N, dari AB dan AC adalah i[(3 x 3) – (1 x 2)] + j[(1 x -2) – (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) – (3x – 2)], yang disederhanakan menjadi N = 7i + 4j + 2k. Perhatikan bahwa “i,†“j†dan “k†digunakan untuk mewakili koordinat vektor.
Turunkan persamaan bidang. Persamaan bidangnya adalah Ni(x – a1) + Nj(y – a2) + Nk(z – a3) = 0, dengan (a1, a2, a3) adalah sembarang titik pada bidang dan (Ni, Nj, Nk ) adalah vektor normal, N. Pada contoh, menggunakan titik C, yaitu (1, 3, 4), persamaan bidangnya adalah 7(x – 1) + 4(y – 3) + 2(z – 4) = 0, yang disederhanakan menjadi 7x – 7 + 4y – 12 + 2z – 8 = 0, atau 7x + 4y + 2z = 27.
Verifikasi jawaban Anda. Gantikan titik awal untuk melihat apakah titik tersebut memenuhi persamaan bidang. Untuk menyimpulkan contoh, jika Anda mengganti salah satu dari tiga titik, Anda akan melihat bahwa persamaan bidang memang terpenuhi.
- Lihat Sumber untuk tips tentang cara menggunakan sistem tiga persamaan simultan untuk menemukan persamaan bidang.
Jupiterimages/BananaStock/Getty Images
