Konsep nilai eigen tidak jelas tetapi sangat berguna bagi matematikawan dan ilmuwan fisika yang menghadapi masalah menarik tertentu.
Untuk memahami nilai eigen, bayangkan memiliki fungsi (misalnya, y = x 2 + 6 x , atau y = log 4 x ) yang dapat Anda lakukan melalui beberapa proses sehingga hasilnya adalah sama dengan mengalikan seluruh fungsi dengan nilai konstanta. Fungsi seperti itu akan memenuhi syarat sebagai fungsi eigen , dan konstanta akan menjadi nilai eigen.
- “Eigen” adalah bahasa Jerman untuk “sama”.
Untuk memahami nilai eigen dan fungsi eigen dengan baik, dan dapat menghitung sendiri nilai eigen, Anda memerlukan pemahaman dasar tentang matriks. Trik matematika ini digunakan untuk menentukan, katakanlah, urutan ikatan NO 2 (nitrogen dioksida) dan molekul lain, karena perilaku elektron dalam atom ditentukan oleh fungsi gelombang yang memenuhi syarat sebagai fungsi eigen.
Apa Itu Matriks?
Matriks adalah susunan bilangan yang diurutkan dalam baris dan kolom, yang dapat berupa bilangan dari 1 sampai n . Dimensi matriks diberikan sebagai baris demi kolom; misalnya, berikut adalah matriks 2-kali-3:
begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \ 1 & 3 & 5 \ end{bmatrix}
Matriks dapat dijumlahkan jika ukurannya sama (yaitu, memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama). Mereka juga dapat dikalikan bersama dengan proses bertahap dalam kondisi yang sama. Selain itu, matriks apa pun dapat dikalikan dengan vektor, yaitu matriks 1 kali n atau matriks n kali 1; ini termasuk vektor lainnya.
Apa Itu Persamaan Nilai Eigen?
Katakanlah Anda memiliki matriks n -kali- n atau matriks “persegi” A , vektor n-kali-1 bukan nol , dan skalar Î » , sehingga persamaan berikut menjadi puas:
bold{Av} = λbold{v}
Setiap nilai Î » yang persamaannya memiliki solusi dikenal sebagai nilai eigen dari matriks A.
Jangan biarkan pikiran Anda memperlakukan ekspresi di atas sebagai produk. A adalah operator pada, atau transformasi linier dari, vektor v , perhitungan ini hanya mungkin karena A dan v keduanya memiliki n baris.
Mengapa Menggunakan Fungsi Nilai Eigen?
Derivasinya rumit, tetapi dalam kimia atom, operator Hamiltonian “H-bar” digunakan untuk menyatakan energi kinetik dan potensial suatu sistem:
hat H=−dfrac{℠}{2m}∇^2+hat V(x,y,z)
Ini digunakan untuk menulis bentuk persamaan fungsi gelombang Schrodinger dalam mekanika kuantum:
hat Hψ(x,y,z)=Eψ(x,y,z)
Di sini E mewakili nilai eigen yang memenuhi persamaan ini.
Cara Menemukan Nilai Eigen Matriks
Dari persamaan Av = λv, diperoleh A v − λ v =0. Ini mengarah ke:
bold{A v} − λ(bold{I v})=0
Di mana I adalah matriks identitas 2 kali 2 dengan deretan [ Î » 0] dan [0 Î » ], menghasilkan 1 jika dikalikan dengan skalar Î » . Hasil ini menghasilkan:
(bold{A} – λbold{I})bold{v} = 0
Yang mana jika v bukan nol, hanya memiliki solusi jika nilai mutlak dari A − Î » I , atau | A − Î » I |, adalah nol. Jika Anda melakukannya dengan tangan, ini melibatkan penyelesaian persamaan kuadrat dan bisa membosankan.
Untuk mengalikan dua matriks bersama-sama, untuk setiap titik dalam matriks hasil kali, Anda mengalikan titik-titik yang bersesuaian bersama-sama dan menjumlahkannya dengan hasil kali elemen baris dan kolom yang tersisa di baris dan kolom tempat titik baru tersebut berada.
Dalam mengalikan dua matriks 2 kali 2 A dan B , jika baris pertama A adalah [1 3] dan kolom pertama B adalah [2 5], maka bilangan pada matriks pertama adalah kolom dan baris matriks baru akan menjadi [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15, dan demikian juga untuk tiga titik lainnya.
Hitung Nilai Eigen Online
Di Sumber Daya, Anda akan menemukan alat kalkulasi matriks yang memungkinkan Anda menemukan nilai eigen dan lebih banyak lagi untuk matriks dengan hampir semua ukuran yang dapat dibayangkan.
Jacob Ammentorp Lund/iStock/GettyImages
