Salah satu operasi penting yang Anda lakukan dalam kalkulus adalah mencari turunan. Turunan suatu fungsi disebut juga laju perubahan fungsi tersebut. Misalnya, jika x(t) adalah posisi sebuah mobil pada suatu waktu t, maka turunan dari x, yang ditulis dx/dt, adalah kecepatan mobil tersebut. Juga, turunannya dapat divisualisasikan sebagai kemiringan garis singgung grafik fungsi. Pada tingkat teoretis, begitulah cara ahli matematika menemukan turunan. Dalam praktiknya, ahli matematika menggunakan kumpulan aturan dasar dan tabel pencarian.
Derivatif sebagai Lereng
Kemiringan garis antara dua titik adalah kenaikan, atau perbedaan nilai y dibagi dengan lari, atau perbedaan nilai x. Kemiringan fungsi y(x) untuk nilai x tertentu didefinisikan sebagai kemiringan garis yang bersinggungan dengan fungsi di titik [x, y(x)]. Untuk menghitung kemiringan, Anda membuat garis antara titik [x, y(x)] dan titik terdekat [x+h, y(x+h)], dengan h adalah angka yang sangat kecil. Untuk baris ini, lari, atau perubahan nilai x adalah h, dan kenaikan, atau perubahan nilai y, adalah y(x+h) – y(x). Akibatnya, kemiringan y(x) pada titik [x,y(x)] kira-kira sama dengan [y(x+h) – y(x)]/[(x + h) – x] = [y( x + h) – y(x)]/h. Untuk mendapatkan kemiringan yang tepat, Anda menghitung nilai kemiringan saat h semakin kecil, ke “batas” di mana h menjadi nol. Kemiringan yang dihitung dengan cara ini adalah turunan dari y(x), yang ditulis sebagai y’(x) atau dy/dx.
Turunan dari Fungsi Pangkat
Anda dapat menggunakan metode kemiringan/batas untuk menghitung turunan fungsi dengan y sama dengan x pangkat a, atau y(x) = x^a. Misalnya, jika y sama dengan x pangkat tiga, y(x) = x^3, maka dy/dx adalah limit saat h menuju nol dari [(x + h)^3 – x^3]/h. Memperluas (x+h)^3 memberikan [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 – x^3]/h, yang berkurang menjadi 3x^2 + 3xh^2 + h^2 setelah Anda membagi oleh h. Dalam limit ketika h menjadi nol, semua suku yang memiliki h juga menjadi nol. Jadi, y’(x) = dy/dx = 3x^2. Anda dapat melakukan ini untuk nilai a selain 3, dan secara umum, Anda dapat menunjukkan bahwa d/dx(x^a) = (a – 1)x^(a-1).
Turunan Dari Deret Daya
Banyak fungsi dapat ditulis sebagai apa yang disebut deret pangkat, yang merupakan jumlah dari suku bilangan tak terhingga, di mana masing-masing berbentuk C(n)x^n, di mana x adalah variabel, n adalah bilangan bulat dan C( n) adalah angka spesifik untuk setiap nilai n. Misalnya, deret pangkat untuk fungsi sinus adalah Sin(x) = x – x^3/6 + x^5/120 – x^7/5040 + …, di mana “…†berarti istilah berlanjut hingga tak terhingga. Jika Anda mengetahui deret pangkat suatu fungsi, Anda dapat menggunakan turunan pangkat x^n untuk menghitung turunan fungsi tersebut. Misalnya, turunan Sin(x) sama dengan 1 – x^2/2 + x^4/24 – x^6/720 + …, yang merupakan deret pangkat untuk Cos(x).
Turunan Dari Tabel
Turunan dari fungsi dasar seperti pangkat seperti x^a, fungsi eksponensial, fungsi log, dan fungsi trigonometri, ditemukan menggunakan metode kemiringan/batas, metode deret pangkat, atau metode lainnya. Derivatif ini kemudian dicantumkan dalam tabel. Misalnya, Anda dapat melihat bahwa turunan dari Sin(x) adalah Cos(x). Ketika fungsi kompleks adalah kombinasi dari fungsi dasar, Anda memerlukan aturan khusus seperti aturan rantai dan aturan perkalian, yang juga diberikan dalam tabel. Misalnya, Anda menggunakan aturan rantai untuk mencari turunan dari Sin(x^2) adalah 2xCos(x^2). Anda menggunakan aturan hasil kali untuk menemukan bahwa turunan dari xSin(x) adalah xCos(x) + Sin(x). Menggunakan tabel dan aturan sederhana, Anda dapat menemukan turunan dari fungsi apa pun. Tetapi ketika suatu fungsi sangat kompleks, para ilmuwan kadang-kadang menggunakan program komputer untuk membantu.
Arsip Hulton/Getty Images Berita/Getty Images
